Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Les groupes d’homologie instanton-symplectique sont des invariants associés à des 3-variétés, définis par Manolescu et Woodward, qui constituent des analogues symplectiques de l’homologie des instantons. Je montrerai que ces groupes sont naturels : en tant que groupes abéliens Z/8Z-relativement gradués, ils ne dépendent que de la 3-variété et du choix d'un point base.

J’expliquerai ensuite comment définir des applications associées à des 4-cobordismes munis de chemins reliant les points bases, et donnerai quelques unes de leurs propriétés.

Le problème de classifier des objets (espaces, représentations, faisceaux...) à moins d'isomorphisme est la plus part du temps intractable, et le mieux qu'on puisse faire est de se contenter de relations d'équivalence beaucoup plus faibles que l'isomorphisme. Depuis les années 90's, dans plusieurs domaines des mathématiques des solutions ont été trouvées ayant la forme d'une classification des sous-catégories épaisses d'une catégorie triangulée ; grosso-modo, il s'agit donc de classifier les objets d'intérêt "à opérations homologiques près". Les premiers résultats concernent les spectres finis en topologie (par Devinatz-Hopkins-Smith), les complexes parfaits sur un anneau commutatif ou sur un schéma en géométrie algébrique (Hopkins-Neeman-Thomason), et les representations d'un groupe fini en théorie de la représentation modulaire (Benson-Carlson-Rickard). D'autres résultats similaires ont été prouvés ensuite, et des théories ont été bâties pour unifier les méthodes (notamment par Balmer, Hovey-Palmieri-Strickland et Benson-Iyengar-Krause), mais à chaque fois les preuves restent difficiles.

Après avoir expliqué ce cercle d'idées, je présenterai des traveaux en commun avec Don Stanley montrant comme, dans certains cas, on peut obtenir de telles classifications par des méthodes purement formelles et donc sans beaucoup d'effort. Ce résultat abstrait s'applique par exemple à la catégorie dérivée de dg-algèbres et spectres en anneaux commutatifs don't la cohomologie (resp. l'homotopie) est suffisamment régulière.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie

Notre cadre est celui des nœuds legendriens dans l'espace $J^1(\R,\R)=\R \times T^*\R$ muni de sa structure de contact standard. Certains parmi ces nœuds peuvent être obtenus à partir de graphes de fonctions définies sur $\R \times \R^k$ pour un certain $k \in \N$, comme contour de fonctions génératrices. Notre exposé se restreint à cette classe d'objets et considère les cobordismes legendriens contours de fonctions génératrices les reliant. Nous verrons rapidement l'existence de certaines contraintes, et nous nous attèlerons à des constructions explicites de tels cobordismes."

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

I will describe a geometric chain level construction of a secondary coproduct operation on a suitable chain model for the free loop space of a manifold using the theory of De Rham chains. Such coproduct was described at the level of homology by Goresky and Higston using different methods. It is secondary in the sense that arises from a "1-parameter family of chain level intersections". The chain level theory around this secondary operation is useful for describing certain phenomena in symplectic topology and symplectic field theory. There are analogues of these geometric operations in the algebraic theory of Hochschild complexes of Frobenius algebras described in work by Wahl, Abbaspour, Tradler, Zeinalian, and others. I will discuss a new way of nterpreting both the algebraic loop product and the algebraic secondary coproduct in a single package. This is work in progress with Dingyu Yang (IMJ-PRG) and Zhengfeng Wang (IMJ-PRG).

The "equivalence principle" (EP) says that meaningful statements in mathematics should be invariant under the appropriate notion of equivalence - "sameness" - of the objects under consideration. In set theoretic foundations, the EP is not enforced; e.g., the statement "1 ϵ Nat" is not invariant under isomorphism of sets. In univalent foundations, on the other hand, the equivalence principle has been proved for many mathematical structures. In this introductory talk, I first give an overview of earlier attempts at designing foundations that satisfy some invariance property. Afterwards I give a brief introduction to the univalent foundations (UF) and present results, both by other and myself, on the validity of EP in UF.