Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Originally defined by Nadler, an arboreal singularity of a Lagrangian is a robust kind of singularity; notable in that any Lagrangian singularity can be deformed into one with only arboreal singularities. They are also interesting algebraically, because an arboreal singularity is determined by a quiver (a rooted tree), and the space of constructable sheaves on the arboreal singularity coincides with the space of representations of the quiver. However, often times an arboreal Lagrangian skeleton will have free boundary components, so the space of sheaves is considerable smaller, even locally. Geometrically this corresponds to removing a number of the top dimensional strata, which we call pruning. We prove that the link of a pruned arboreal singularity is loose, if and only if the singularity admits no non-constant constructable sheaves. We'll also discuss how this fits into a larger program of using the wrapped Fukaya category to detect flexibility of Weinstein manifol

Une théorie quantique des champs topologiques (TQFT) en dimension (1+1) associe à chaque cercle une algèbre de Frobenius et à une surface en pantalon le morphisme de co/multiplication de l'algèbre de Frobenius . En particulier elle associe à une surface fermée un nombre.

On s'attachera dans cette exposé à expliquer une construction similaire où on considère certains graphes plantaires à la place des cercles et aussi des mousses qui sont des cobordismes naturelles entre ces graphes. On présentera en particulier une formule permettant de calculer cette TQFT trivalente sur les mousses fermées et on verra comment celle ci-permet de reconstruire la TQFT entièrement grâce à un procédé de construction universelle.

Une bonne partie de l'exposé s'attachera à motiver cette construction et à expliquer ses liens avec la théorie des représentations du groupe quantique de type A et les invariants d'entrelacs associées. On esquissera aussi le lien avec l'anneau de cohomologie des drapeaux partiels et conjecturalement la cohomologie de certains autres espaces de modules.

François Laudenbach et moi-même vous invitons à un groupe de lecture en topologie: de la "Conjecture de Mumford généralisée" prouvée par Madsen-Weiss, on lira la preuve "for geometrically-minded topologists" publiée par Eliashberg-Galatius-Mishachev

Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev, "Madsen-Weiss for geometrically minded topologists", Geometry & Topology 15 (2011), 411–472;

gt-v15-n1-p13-p.pdf

les mercredis, 14h-16h 1ère séance le 8 mars en salle de séminaires.

L'objet de cet exposé est une formule reliant deux invariants d’entrelacs de nature différente, à savoir les invariants de Milnor, qui sont extraits du groupe fondamental du complémentaire, et le polynôme de HOMFLYPT, un invariant quantique. Après avoir rappelé les définitions nécessaires, nous verrons ainsi que les invariants de Milnor d’un entrelacs de la 3-sphère s’expriment comme une combinaison linéaire de polynômes de HOMFLYPT de noeuds obtenus par certaines opérations de somme en bande. Il s’agit d'un travail en commun avec A. Yasuhara.

Habiro a introduit la catégorie des « enchevêtrements dans les corps en anses », qui englobe à la fois les noeuds usuels dans S^3 et les groupes de difféotopie des corps en anses tridimensionnels. Nous rappellerons cette catégorie, avant d’expliquer comment l’intégrale de Kontsevich (originellement définie comme invariant de noeuds) s’y étend en un foncteur à valeurs dans une catégorie de nature purement combinatoire. Nous énoncerons une propriété d’universalité pour ce foncteur et, en guise de conclusion, nous préciserons son lien avec la TQFT issue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki. (Travail en collaboration avec Kazuo Habiro.)

Les objets noués (nœuds, entrelacs, tresses, enlacements de chemins...) admettent des représentations fidèles en termes de diagrammes planaires à mouvements de Reidemeister près. Dans la littérature on a considéré ces classes d’équivalences de diagrammes avec d’autres mouvements locaux additionnels; dans certains cas (e.g. le crossing change) la théorie devient peu intéressante, dans d'autres cas (e.g. le self crossing change) la théorie reste très riche et topologiquement significative. Dans ce séminaire nous allons introduire/rappeler des analogues en dimension 4 des nœuds et d’autres objets noués et on va considérer des représentations de ces objets comme des diagrammes planaires, qui étendent les diagrammes planaires classiques et qu'on appellera welded. On montrera des relations avec le cas classique, des résultats de classification pour ces objets à plusieurs types de mouvements locaux près, et comment certains mouvements locaux dans le cadre welded étendent naturellement d’autres (différents) mouvements locaux dans le cadre classique. Travail en collaboration avec B. Audoux, J-B. Meilhan et E. Wagner.

Il s’agit d’un projet avec W. Chacholski, A. Neeman et W. Pitsch dont l’origine se trouve dans les travaux de Spaltenstein sur la construction de résolutions de complexes non bornés et ceux de Christensen-Hovey sur la construction de structures modèles relatives. La difficulté d’une telle construction dans le cas projectif et celle encore plus grande de sa dualisation dans le cas injectif nous poussent à étudier cette question du point de vue des approximations de modèle. J’aimerais présenter ce concept, proposer un candidat de catégorie modèle pour approximer les complexes de chaînes non bornés, et montrer que sous un analogue relatif de l’axiome AB4*-n de Roos, la question est résolue positivement. Je mentionnerai également les limites de cette approche, quand l’axiome mentionné n’est pas satisfait.

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