Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

c'est une conjecture d'Arnol'd au sujet des singularités de la projection sur la sphère S^2 d'une courbe Legendrienne dans le projectivisé du cotangent de S^2. Elle dit qu'un déformation Hamiltonienne générique de la fibre au-dessus d'un point de S^2 a au moins trois cusps. On en expliquera une preuve qui utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira, après quelques rappels sur les faisceaux.

En général, pour un espace topologique quelconque la dualité de Poincaré n'existe pas, Poincaré le savait et a donné un contre exemple à son théorème de dualité : la suspension du tore. Si l'on souhaite restaurer la dualité de Poincaré (à coefficients rationnels) pour des espaces dits singuliers, par exemple les variétés algébriques singulières, on a deux méthodes : - une méthode "algébrique" : la (co)homologie d'intersection, - une méthode "topologique" : les espaces d'intersection.

On se concentrera sur la deuxième méthode. Étant donnée une pseudovariété stratifiée à singularités isolées, on peut lui associer une famille d'espaces topologiques indexées sur un nombre fini d'entiers : la famille de ses espaces d'intersections. La cohomologie réduite rationnelle de cette famille vérifie alors une "dualité de Poincaré généralisée". La première partie de l'exposé sera consacrée à l'introduction des différentes notions nécessaires ainsi qu'à la définition des espaces d'intersection. Dans la seconde partie on verra comment dans certains cas on peut considérer la cohomologie rationnelle dans son intégralité et non plus la réduite en construisant des espaces à dualité de Poincaré rationnelle. Enfin, si le temps le permet on discutera des possibles généralisations des résultats présentés.

In this talk we show two theorems on stabilization of (achiral) Lefschetz fibrations under fiber summing with copies of a `universal' Lefschetz fibration. In particular the first of our stabilization theorems is a generalization of the theorem of Auroux. For proofs of these theorems, we employ a certain labeled finite graph, called a chart, in a closed oriented surface for describing the monodromy of a(n achiral) Lefschetz fibration over the surface. Applying charts and their moves with respect to Wajnryb's presentation of mapping class groups, we generalize a signature formula for Lefschetz fibrations over the 2-sphere obtained by Endo and Nagami to that for Lefschetz fibrations over arbitrary closed oriented surface. This formula is crucial for the proof of the stabilization theorems. This is a joint work with I. Hasegawa, S. Kamada, and K. Tanaka.

We dene the singular Hochschild cohomology for an associative algebra, which is a generalization of Hochshcild cohomolgy motivated from the investigation on singularities of algebraic varieties. In this talk, we construct a Gerstenhaber algebra structure in the singular Hochschild cohomology and provide a prop interpretation for this construction. Then we will describe the BV algebra structure in the case of symmetric algebras. We will also talk about the singular version of Deligne conjecture, which is related to the higher algebraic structures (such as B1-algebra). If time allows, we will give one example on how to compute the singular Hochschild cohomology.

Grâce aux travaux de P. Biran sur les polarisations, on peut construire au-dessus d’une lagrangienne monotone de CP^n un fibré en cercles qui est une lagrangienne monotone de C^{n+1}. Cette dernière est en particulier déplaçable, et les travaux de M. Damian sur l’homologie de Floer relevée permettent d’extraire, sur ce fibré, des contraintes topologiques. À l’aide de la technique « d’allongement du cou », on peut ensuite relier l’homologie de Floer relevée de la lagrangienne de départ à celle du fibré en cercles, ce qui permet de rapatrier ainsi les contraintes topologiques sur la première lagrangienne.

Les groupes d’homologie instanton-symplectique sont des invariants associés à des 3-variétés, définis par Manolescu et Woodward, qui constituent des analogues symplectiques de l’homologie des instantons. Je montrerai que ces groupes sont naturels : en tant que groupes abéliens Z/8Z-relativement gradués, ils ne dépendent que de la 3-variété et du choix d'un point base.

J’expliquerai ensuite comment définir des applications associées à des 4-cobordismes munis de chemins reliant les points bases, et donnerai quelques unes de leurs propriétés.

Le problème de classifier des objets (espaces, représentations, faisceaux...) à moins d'isomorphisme est la plus part du temps intractable, et le mieux qu'on puisse faire est de se contenter de relations d'équivalence beaucoup plus faibles que l'isomorphisme. Depuis les années 90's, dans plusieurs domaines des mathématiques des solutions ont été trouvées ayant la forme d'une classification des sous-catégories épaisses d'une catégorie triangulée ; grosso-modo, il s'agit donc de classifier les objets d'intérêt "à opérations homologiques près". Les premiers résultats concernent les spectres finis en topologie (par Devinatz-Hopkins-Smith), les complexes parfaits sur un anneau commutatif ou sur un schéma en géométrie algébrique (Hopkins-Neeman-Thomason), et les representations d'un groupe fini en théorie de la représentation modulaire (Benson-Carlson-Rickard). D'autres résultats similaires ont été prouvés ensuite, et des théories ont été bâties pour unifier les méthodes (notamment par Balmer, Hovey-Palmieri-Strickland et Benson-Iyengar-Krause), mais à chaque fois les preuves restent difficiles.

Après avoir expliqué ce cercle d'idées, je présenterai des traveaux en commun avec Don Stanley montrant comme, dans certains cas, on peut obtenir de telles classifications par des méthodes purement formelles et donc sans beaucoup d'effort. Ce résultat abstrait s'applique par exemple à la catégorie dérivée de dg-algèbres et spectres en anneaux commutatifs don't la cohomologie (resp. l'homotopie) est suffisamment régulière.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie

Notre cadre est celui des nœuds legendriens dans l'espace $J^1(\R,\R)=\R \times T^*\R$ muni de sa structure de contact standard. Certains parmi ces nœuds peuvent être obtenus à partir de graphes de fonctions définies sur $\R \times \R^k$ pour un certain $k \in \N$, comme contour de fonctions génératrices. Notre exposé se restreint à cette classe d'objets et considère les cobordismes legendriens contours de fonctions génératrices les reliant. Nous verrons rapidement l'existence de certaines contraintes, et nous nous attèlerons à des constructions explicites de tels cobordismes."