Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

I will describe a geometric chain level construction of a secondary coproduct operation on a suitable chain model for the free loop space of a manifold using the theory of De Rham chains. Such coproduct was described at the level of homology by Goresky and Higston using different methods. It is secondary in the sense that arises from a "1-parameter family of chain level intersections". The chain level theory around this secondary operation is useful for describing certain phenomena in symplectic topology and symplectic field theory. There are analogues of these geometric operations in the algebraic theory of Hochschild complexes of Frobenius algebras described in work by Wahl, Abbaspour, Tradler, Zeinalian, and others. I will discuss a new way of nterpreting both the algebraic loop product and the algebraic secondary coproduct in a single package. This is work in progress with Dingyu Yang (IMJ-PRG) and Zhengfeng Wang (IMJ-PRG).

The "equivalence principle" (EP) says that meaningful statements in mathematics should be invariant under the appropriate notion of equivalence - "sameness" - of the objects under consideration. In set theoretic foundations, the EP is not enforced; e.g., the statement "1 ϵ Nat" is not invariant under isomorphism of sets. In univalent foundations, on the other hand, the equivalence principle has been proved for many mathematical structures. In this introductory talk, I first give an overview of earlier attempts at designing foundations that satisfy some invariance property. Afterwards I give a brief introduction to the univalent foundations (UF) and present results, both by other and myself, on the validity of EP in UF.

The Jones representation of the mapping class group of the punctured sphere is constructed by formulating irreducible linear representations of braid groups that factor through Hecke algebras. In this talk we introduce the Jones representation and we show that the normal closure of the m-th power of a half-twist has infinite index in the mapping class group of a punctured sphere. As a corollary we show that the normal closure of a power of a Dehn twist has infinite index in the hyperelliptic mapping class group of a closed surface of genus at least two.

La dualité miroir cohomologique est la propriété $h^{p,q}(X)=h^{3-p,q}(X')$, où $X$ et $X'$ sont deux solides de Calabi-Yau. Elle se manifeste dans le cas de la construction dite de Borcea-Voisin comme une conséquence de la symétrie miroir des surfaces K3 avec involution anti-symplectique. Il s'agit de l'une des premières manifestations de symétrie miroir entre solides de Calabi-Yau, qu'on aimerait bien comprendre dans un cadre unifié. On espère aussi d'aller au delà du simple constat $h^{p,q}(X)=h^{3-p,q}(X')$, vers un énoncé qui met en jeu les nombres -à ce jour presque complètement inconnus- des courbes tracés sur les solides de Calabi-Yau. Dans ce travail, en collaboration avec Kalachnikov et Veniani, on généralise et on démontre la dualité miroir cohomologique pour les couples de type Borcea-Voisin en dimensions quelconque. Comme dans le cas standard, ces couples dérivent de couples miroir de Calabi-Yau avec involution. La méthode est une variante du modèle de Landau-Ginzburg et de la correspondance Landau-Ginzburg/Calabi-Yau. Les modèles de Landau-Ginzburg encodent les informations cruciales des variétés de Calabi-Yau et, dans le cadre classique, jouent le rôle de véhicule entre variétés miroir. Dans ce travail, ces modèles reflètent également la géométrie du lieu fixe de l'involution. On découvre donc au passage des énoncés nouveaux de symétrie miroir qui concernent les courbes sextiques dans P2, les surfaces octiques dans P3, ou les solides de degré 10 dans P4, etc.

Families of groups such as symmetric groups, braid groups, general linear groups, mapping class groups of 2- or 3-dimensional manifolds, or Higman-Thompson groups share the following stability phenomenon: the homology of the nth group in the sequence is isomorphic to that of the (n+1)st group in a range of degrees increasing with n. This phenomemon is called homological stability.

In this series of talks, I will give an introduction to homological stability, showing what the above examples have in common. I'll explain through the framework of homogeneous categories how the question of stability boils down to the question of high connectivity of certain simplicial complexes and give an idea of how these connectivity results are proved in different examples.

Families of groups such as symmetric groups, braid groups, general linear groups, mapping class groups of 2- or 3-dimensional manifolds, or Higman-Thompson groups share the following stability phenomenon: the homology of the nth group in the sequence is isomorphic to that of the (n+1)st group in a range of degrees increasing with n. This phenomemon is called homological stability.

In this series of talks, I will give an introduction to homological stability, showing what the above examples have in common. I'll explain through the framework of homogeneous categories how the question of stability boils down to the question of high connectivity of certain simplicial complexes and give an idea of how these connectivity results are proved in different examples.