Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

La conjecture de Weinstein affirme que tout champ de Reeb sur une variété close possède une orbite périodique. Dans cet exposé, on présentera une stratégie de preuve pour le cas des variétés de contact portées par un livre ouvert de forme particulière : la page est obtenue en attachant à un domaine de Weinstein une anse critique le long d'une sphère legendrienne lâche et homologiquement triviale. Cette approche s'appuie sur des travaux récents de Bourgeois, Ekholm et Eliashberg sur les anses critiques

In this talk, I will review the notion of modular functor and explain how one use it to defines bundles over the compactified moduli space of Riemann surfaces. The Chern classes of these bundles turn out to define Cohomological field theories. I will explain how this implies that they can be computed by an inductive procedure called topological recursion. One of the motivating example is the study of the so-called Verlinde bundle associated to Wess-Zmino-Witten Conformal field theories.

Based on a joint work with Andersen and Borot

(travail en commun avec Jean Fasel) Voevodsky a défini la cohomologie motivique en commençant par construire les correspondances finies, une version algébrique des fonctions multivaluées. Les groupes de Chow n’y apparaissent pas explicitement, mais ils sont sous-jacents, et j’expliquerai une façon de les révéler. Cela permettra de les remplacer par les groupes de Chow-Witt, en lien avec les formes quadratiques, et de poursuivre la construction de Voevodsky, afin d’obtenir de nouveaux groupes de cohomologie motivique, dits « généralisés » fournissant des informations plus fines sur la catégorie homotopique des schémas, pendant algébro-géométrique de la catégorie homotopique des espaces topologiques.

Je citerai les quelques calculs non triviaux que nous pouvons faire, notamment une généralisation d’un théorème de Suslin-Nesterenko-Voevodsky-Totaro qui identifie la cohomologie motivique d’un corps à la K-théorie de Milnor.

Originally defined by Nadler, an arboreal singularity of a Lagrangian is a robust kind of singularity; notable in that any Lagrangian singularity can be deformed into one with only arboreal singularities. They are also interesting algebraically, because an arboreal singularity is determined by a quiver (a rooted tree), and the space of constructable sheaves on the arboreal singularity coincides with the space of representations of the quiver. However, often times an arboreal Lagrangian skeleton will have free boundary components, so the space of sheaves is considerable smaller, even locally. Geometrically this corresponds to removing a number of the top dimensional strata, which we call pruning. We prove that the link of a pruned arboreal singularity is loose, if and only if the singularity admits no non-constant constructable sheaves. We'll also discuss how this fits into a larger program of using the wrapped Fukaya category to detect flexibility of Weinstein manifol

Une théorie quantique des champs topologiques (TQFT) en dimension (1+1) associe à chaque cercle une algèbre de Frobenius et à une surface en pantalon le morphisme de co/multiplication de l'algèbre de Frobenius . En particulier elle associe à une surface fermée un nombre.

On s'attachera dans cette exposé à expliquer une construction similaire où on considère certains graphes plantaires à la place des cercles et aussi des mousses qui sont des cobordismes naturelles entre ces graphes. On présentera en particulier une formule permettant de calculer cette TQFT trivalente sur les mousses fermées et on verra comment celle ci-permet de reconstruire la TQFT entièrement grâce à un procédé de construction universelle.

Une bonne partie de l'exposé s'attachera à motiver cette construction et à expliquer ses liens avec la théorie des représentations du groupe quantique de type A et les invariants d'entrelacs associées. On esquissera aussi le lien avec l'anneau de cohomologie des drapeaux partiels et conjecturalement la cohomologie de certains autres espaces de modules.

François Laudenbach et moi-même vous invitons à un groupe de lecture en topologie: de la "Conjecture de Mumford généralisée" prouvée par Madsen-Weiss, on lira la preuve "for geometrically-minded topologists" publiée par Eliashberg-Galatius-Mishachev

Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev, "Madsen-Weiss for geometrically minded topologists", Geometry & Topology 15 (2011), 411–472;

gt-v15-n1-p13-p.pdf

les mercredis, 14h-16h 1ère séance le 8 mars en salle de séminaires.

L'objet de cet exposé est une formule reliant deux invariants d’entrelacs de nature différente, à savoir les invariants de Milnor, qui sont extraits du groupe fondamental du complémentaire, et le polynôme de HOMFLYPT, un invariant quantique. Après avoir rappelé les définitions nécessaires, nous verrons ainsi que les invariants de Milnor d’un entrelacs de la 3-sphère s’expriment comme une combinaison linéaire de polynômes de HOMFLYPT de noeuds obtenus par certaines opérations de somme en bande. Il s’agit d'un travail en commun avec A. Yasuhara.

Habiro a introduit la catégorie des « enchevêtrements dans les corps en anses », qui englobe à la fois les noeuds usuels dans S^3 et les groupes de difféotopie des corps en anses tridimensionnels. Nous rappellerons cette catégorie, avant d’expliquer comment l’intégrale de Kontsevich (originellement définie comme invariant de noeuds) s’y étend en un foncteur à valeurs dans une catégorie de nature purement combinatoire. Nous énoncerons une propriété d’universalité pour ce foncteur et, en guise de conclusion, nous préciserons son lien avec la TQFT issue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki. (Travail en collaboration avec Kazuo Habiro.)

Les objets noués (nœuds, entrelacs, tresses, enlacements de chemins...) admettent des représentations fidèles en termes de diagrammes planaires à mouvements de Reidemeister près. Dans la littérature on a considéré ces classes d’équivalences de diagrammes avec d’autres mouvements locaux additionnels; dans certains cas (e.g. le crossing change) la théorie devient peu intéressante, dans d'autres cas (e.g. le self crossing change) la théorie reste très riche et topologiquement significative. Dans ce séminaire nous allons introduire/rappeler des analogues en dimension 4 des nœuds et d’autres objets noués et on va considérer des représentations de ces objets comme des diagrammes planaires, qui étendent les diagrammes planaires classiques et qu'on appellera welded. On montrera des relations avec le cas classique, des résultats de classification pour ces objets à plusieurs types de mouvements locaux près, et comment certains mouvements locaux dans le cadre welded étendent naturellement d’autres (différents) mouvements locaux dans le cadre classique. Travail en collaboration avec B. Audoux, J-B. Meilhan et E. Wagner.