Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Amoebas A(X) are images of algebraic varieties X in logarithmic coordinates and were introduced by Gelfand, Kapranov, Zelevinsky in their study of discriminants. From a "tropical" point of view, they appear as intermediate objects during the process of passing from the classical algebraic geometry to the piece-wise linear, combinatorial world of tropical geometry. However, basic properties of amoebas, even their dimensions, are not well-understood. In my talk, I will review some results and present a new formula computing dim(A(X)), settling a conjecture by Nisse and Sottile. As a corollary, this formula implies that the amoeba dimension only depends on the tropicalization/Bergman fan of X. This is joint work with Jan Draisma et Chi Ho Yuen.

Il est connu que la structure de contact standard sur le projectif, obtenue par quotient de la structure de contact standard sur la sphère, est remplissable fortement mais pas de Weinstein. Je montrerai qu'elle n'est pas remplissable de Liouville non plus, c'est à dire elle n'admet pas un remplissage fort dont la forme symplectique est exacte. En fait, en étudiant les dégénérescences d'un espace de modules de sphères holomorphes, je montrerai que tout remplissage fort de la structure standard sur le projectif réel de dimension cinq contient une sphère symplectique. Il s'agit d'un travail en cours avec Klaus Niederkrüger.

Classical knot theory is the study of smooth 1-manifolds in R^3. Starting from a beautiful construction by Rudolph that relates notions of positivity for knots with the study of algebraic curves in C^2, we discuss applications of knot theory to complex curve questions and vice versa.

L'homologie de Novikov est une version de l'homologie de Morse adaptée à l'étude des formes fermées non exactes. Bien moins célèbre que la théorie de Morse, elle n'en joue pas moins un rôle clef dans de nombreuses situations, en particulier en topologie symplectique, où elle intervient de façon fondamentale en théorie de Floer.

Mais de même que la théorie de Morse ne se résume pas à une théorie homologique et donne accès à bien plus d'information sur la variété considérée, la théorie de Novikov devrait elle aussi aller au-delà de la définition d'une homologie. Le but de l'exposé est de présenter la construction d'un analogue du groupe fondamental en théorie de Novikov. Ce "groupe fondamental de Novikov" fournit en particulier de nouvelles contraintes sur les points critiques des 1 formes dans une classe de cohomologie donnée, dont on illustrera sur des exemples qu'elles sont de nature homotopique plutôt qu'homologique. C'est un travail en commun avec A. Gadbled, R. Golovko, et H.V. Le.

Given a closed symplectic manifold X, and a differentiable manifold L, can we embed L into X as a Lagrangian submanifold? This central question in Symplectic Geometry is far from being resolved. According to the Symplectic Field Theory approach (as proposed by Eliashberg, Givental and Hofer about 20 years ago) if L is embeddable to X then enumerative invariants of TL-L and X must be compatible. If L is a real torus then TL coincides with (C*)^n and its enumerative geometry is described by the tropical geometry in R^n. In this talk we'll look at some other examples of L when tropical geometry comes into play, including the famous "conifold transition" case of L=S^3 and its finite quotients. We'll also consider some cases when L is disconnected or singular.

Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré en droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans l'exposé, on s'intéressera aux sections réelles d'un fibré en droites au dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie au hasard.