Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Soit U la catégorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo p. On note K(U) le groupe de Grothendieck de la catégorie des modules instables injectifs réduit de type fini. On peut montrer que la tensorisation par C de K(U) est une algèbre de polynômes. Dans cette exposé, on définira un famille de générateurs polynomiaux en utilisant le lien entre K(U) et les représentations modulaires des groupes linéaires sur le corps fini à p éléments. Cette famille a la propriété d'être formée de vecteurs propres pour l'action sur K(U) du foncteur T de Lannes. De plus, la simplicité de ces générateurs facilite les calculs et permet de répondre à certaines conjectures concernant les séries Poincaré des objets de U. Ceci est un travail en commun avec Nguyen Dang Ho Hai.

Chern-Schwarz-Macpherson (CSM) classes are one way to extend the notion of Chern classes of the tangent bundle to singular and non-complete algebraic varieties. I will present a combinatorial analogue of CSM classes for matroids, motivated by the geometric case of hyperplane arrangements. The CSM classes of matroids are polyhedral fans which satisfy a balancing condition, in other words they are Minkowski weights. One goal for defining these classes is to express matroid invariants using the language of algebraic geometry and in turn use geometric intuition to study the properties of these invariants. The first example is the shifted characteristic polynomial of a matroid, which for graphical matroids is related to the chromatic polynomial. CSM classes can be used to study more general objects beyond the world of matroids, known as tropical manifolds. This is based on joint work with Lucia López de Medrano and Felipe Rincón.

Pour les singularités cuspidales de 3 variables, une construction similaire à celle expliquée à l'exposé précédent est possible. On peut généraliser la construction en terme de livre ouvert. Utilisant une operation sur les livres ouverts une série d'exemples intéressantes est construite sur S^4 x S^1 (l’exemple d'Atsuhide Mori). Nous discutons aussi de donner une fibration de Lefschetz feuilletée, proposée par F. Presas. Grâce à un théorème de Gompf, cela donne des structures symplectiques aux feuilles.

Le feuilletage de Lawson est le premier feuilletage de codimension 1 sur la sphère de dimension 5, qui est construit par une modification du livre ouvert de Milnor associé à une singularité simple elliptique. Il est possible de munir chaque feuille de structure symplectique qui varie continuement, mais pour cela il faut changer la structure symplectique de la page de livre ouvert de Milnor qui vient canoniquememnt de C^3. La raison pourquoi le changement est possible est expliquée.

In joint work with Daniel Mathews, we examined complements of standard Seifert surfaces of special alternating links and enumerated those tight contact structures on them whose dividing sets are isotopic to the link. The number turns out to be the leading coefficient of the Alexander polynomial. The proof is rather combinatorial in nature; for example, the Euler classes of the contact structures are identified with `hypertrees' in a certain hypergraph. Using earlier results with Hitoshi Murakami and Alexander Postnikov, this yields a connection between contact topology and the Homfly polynomial. We also found that the contact invariants of our structures form a basis for the sutured Floer homology of the manifold.

Morsifications of real plane curve singularities, i.e., deformations with the maximal possible numer of real hyperbolic nodes, have been introduced in 70th by N. A'Campo and S, Gusein-Zade for computing important singularity invariants. We discuss the (still open) existence problem for morsifications, possible extensions to higher dimensions, and recently discovered relations to combinatorics of quivers that appears in the theory of cluster algebras. Based on joint works with P. Leviant and with S. Fomin, P. Pylyavskyy and D. Thurston.

On décrit un travail de Bourguiba, Lannes et Zarati (auquel l'orateur a modestement participé). À une action de 2-groupes abéliens élémentaires V sur un complexe fini X, on associe deux complexes, l'un géométrique, l'autre algébrique. Quand la cohomologie équivariante de X est libre comme H*V-module, ces deux complexes sont exacts et isomorphes. On décrit ainsi la cohomologie de X relative au lieu singulier de l'action, comme un foncteur de la cohomologie équivariante de X. On considèrera ensuite un cas particulier (Lannes, Hai, Nam, Schwartz, travail antérieur et en cours de rédaction) qui permet de donner une description "explicite" de certains spectres de Brown-Gitler.

Given two natural numbers n and k, consider the Thom space over the classifying space of a rank n elementary abelian 2-group associated to k copies of its real reduced regular representation. The Steinberg module of the general linear group gives rise to a stable summand of this Thom space, denoted by $L(n,k)$. Takayasu (1999) showed the existence of a cofibre sequences $$\Sigma^kL(n-1,2k+1) \to L(n,k) \to L(n,k+1),$$ which generalizes the stable splitting of Mitchell and Priddy. A cofiber sequence of the same form was proved by Arone and Mahowald by combining Goodwillie calculus with the James fibration.

I will describe in this talk how to derive the existence of the above cofibre sequences from the vanishing of some extension groups in the category of modules over the mod 2 Steenrod algebra.
This is joint work with Lionel Schwartz.

Étant donné une (p+q)-variété fermée munie d'un feuilletage F de dimension q, l'existence d'un feuilletage G supplémentaire, c'est-à-dire de codimension q et transverse à F, est bien sûr en général un problème insoluble; mais pour q>=2, si l'on affaiblit la condition de transversalité en demandant seulement que G soit limite de champs de p-plans transverses à F, je donnerai une version du h-principe de Gromov pour de tels feuilletages "quasi-supplémentaires". Il en résulte une preuve nouvelle du théorème de Mather-Thurston. Les outils, outre des méthodes classiques de construction de feuilletages, sont essentiellement la théorie des immersions de Smale, la théorie des rides d'Eliashberg-Mishachev, et une version fine de la cancellation des paires de singularités pour les fonctions de Morse.