Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

En 1993, K. Kuperberg construit des exemples lisses et même analytique réels de flots sans points fixes et sans orbites périodiques sur toute variété fermée de dimension 3. Ces exemples sont à ce jour les uniques exemples de flots ayant ces propriétés. Il sont construits à l’aide de pièges. Un piège est une variété à bord et à coins, nous pouvons penser au produit d'un disque de dimension 2 par un intervalle, qui est munie d’un flot dont les orbites peuvent sortir. Il a la propriété de piéger des orbites : il y a des orbites qui rentrent dans le piège et ne ressortent jamais.

Une orbite piégée s’accumule sur un ensemble fermé invariant à l’intérieur du piège, celui-ci doit contenir un ensemble minimal du flot. Je vais présenter certains aspects de l’étude de l’ensemble minimal des exemples de K. Kuperberg. A ma connaissance, celui-ci est le premier ensemble minimal exceptionnel de dimension topologique deux. Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Steve Hurder.

Kontsevich's characteristic classes for framed smooth homology sphere bundles were defined by Kontsevich as a higher dimensional analogue of Chern-Simons perturbation theory in 3-dimension, developed by himself. In this talk, I will present an application of Kontsevich's characteristic class to a disproof of the 4-dimensional Smale conjecture, which says that the group of self-diffeomorphisms of the 4-sphere has the same homotopy type as the orthogonal group O(5). This leads, for example, to a negative answer to Eliashberg's problem, which asks if the space of compact-support symplectic structures on R^4 is contractible. In proving our result, we give and use a formula for the characteristic numbers for some bundles which counts gradient flow-graphs in the bundles. This is an analogue of K. Fukaya's Morse homotopy for families.

Depuis notamment les travaux de Kadeishvili dans les années 80, on sait que l'homologie d'une algèbre differentielle graduée hérite d'un structure d'algèbre associative à homotopie près. Après avoir rappeler ce résultat classique, et avoir redéfini la notion de propérade. je présenterai une généralisation de ce résultat à toute algèbre sur une propérade. Je définirai notamment la notion d'infini-morphismes entre de telles algèbres, retrouvant notamment le cas particulier des bialgèbres de Lie involutives à homotopie près, déjà traité par Cieliebak, Fukaya et Latschev. Ceci est un travail en commun avec E. Hoffbeck et B. Vallette de Paris 13.

We study two different invariants of framed oriented links. Augmentations are rank one representations of a non-commutative algebra, whose definition is motivated by Floer homology. Sheaves in microlocal theory can be thought of as generalizations of link group representations. We will demonstrate two constructions going back and forth between these invariants. We will also tell a motivating story behind the scene, using SFT and microlocalization correspondence in symplectic topology.

Kontsevich's recursion, proved by Ruan-Tian in the early 90s, enumerates rational curves in complex surfaces. Welschinger defined invariant signed counts of real rational curves in real surfaces (complex surfaces with a conjugation) in 2003. Solomon interpreted Welschinger's invariants as holomorphic disk counts in 2006 and proposed Kontsevich-type recursions for them in 2007, along with an outline for adapting Ruan-Tian's homotopy style argument to the real setting. For many symplectic fourfolds, these recursions determine all invariants from basic inputs. We establish Solomon's recursions by re-interpreting his disk counts as degrees of relatively oriented pseudocycles from moduli spaces of stable real maps and lifting cobordisms from Deligne-Mumford moduli spaces of stable real curves.

On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe une infinité de plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Mais nous introduisons aussi un invariant plus fin dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz).

Travail en commun avec J.P. Monnier et R. Quarez. La normalisation faible d'une variété algébrique complexe est une variété intermédiaire entre la variété et sa normalisation, qui est en bijection avec la variété de départ. On développe une notion analogue pour les variétés algébriques réelles en s'appuyant sur l'anneau des fonctions rationnelles continues.

A morsification of a real plane singularity is a real deformation with the maximal possible number of hyperbolic nodes. Morsifications are an important tool for the study of Dynkin diagrams, monodromy, topology of the singularity link and other characteristics of singularities. In this talk I will address the problem of isotopy classification of morfisications of totally real singularities of type (3,k). I will show how to obtain this classification by combinatorial means via dessins d'enfants and how it can be encoded by wiring diagrams. I will also described the classification of these morsifications up to Reidemeister moves.