Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

We show that the mutant 2-component pretzel links P(p,q,-q,-p) and P(p,q,-p,-q) are not concordant for any distinct odd integers p and q greater than 1. As a corollary, we obtain a proof of the slice-ribbon conjecture for 4-stranded 2-component pretzel links. In order to distinguish mutant links up to concordance we consider 3-fold branched covers and use an obstruction based on Donaldson's diagonalization theorem. This is joint work with Min Hoon Kim, JungHwan Park and Arunima Ray.

We give simple conditions for a collection of rational homology spheres to be linearly independent in the rational homology cobordism group. These translate immediately to statements about knot concordance, recovering some results of Livingston and Naik. The key ingredient is correction terms (of either flavour). This is joint work with Kyle Larson.

Oeljeklaus-Toma manifolds are a higher dimension generalization of Inoue-Bombieri surfaces and were introduced by K. Oeljeklaus and M. Toma in 2005. They are quotients of H^s * C^t by discrete groups of affine transformations arising from a number field K and a particular choice of a subgroup of units U of K. They are commonly referred to as OT manifolds of type (s, t). OT manifolds have been of particular interest for locally conformally Kähler (lcK) geometry since they do not admit Kähler metrics, but those of type (s, 1) admit lcK metrics and for (s, t) in general, the existence of an lcK metric reduces to a numerical condition.

In this talk, we compute their de Rham and twisted cohomology and derive from this several characterization problems concerning their lcK geometry.

We discuss a link between the geometry of hyperbolic three-manifolds and their Floer theoretic invariants, provided by spectral geometry. In particular, we provide sufficient conditions for a hyperbolic three-manifold to be an L-space (i.e. the Floer homology group has the least possible rank) in terms of its volume and the geodesic spectrum (i.e. the set of lengths of closed geodesics). We discuss several explicit (numerical) examples in which this criterion can be applied. This is joint work in progress with Michael Lipnowski.

Avec D. Pecker, nous avons montré que tout nœud de R^3 est un nœud de Chebyshev, ie admet une représentation polynomiale de la forme ( Ta(t),Tb(t), Tc(t+\phi) ) où a,b,c sont des entiers, \phi est un rationnel et Tn(x)= cos( n arcos x) est un polynôme de Chebyshev.

Avec F. Rouillier et C. Tran, nous avons proposé un algorithme pour identifier les nœuds de Chebyshev à 2 ponts (cas a=3, (a,b)=1, c fixé et \phi variant).

L'exposé abordera les différents aspects de ce problème : géométrique, calculatoire - et évoquera la question plus générale qui est de déterminer, pour les nœuds rationnels, une représentation polynomiale de degré minimal, sujet étudié avec E. Brugallé.

La classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles d'un degré fixé dans le plan projectif réel est un sujet classique dans lequel il y a eu beaucoup d'avancements depuis 1970. Dans cette exposé nous allons présenter une classification similaire dans une surface ambiante differente: la quadrique ellipsoide. On exposera le problème de faire une classification des types topologiques réalisés par des courbes algébrique réelles non-singulières de bi-degré fixé (d,d) dans cette surface (en particulier pour d=5), quels sont les types topologiques possibles et comment on peut construire des courbes algébrique réelles qui les réalisent. Finalement, par rapport a la construction, on présentera une version du théorème de Patchwork de Viro (T-construction) et on donnera des examples de constructions.

Un théorème de Chris Miller énonce que si R est une expansion o-minimale du corps des nombres réels alors ou bien R est polynomialement bornée, ou bien la fonction exponentielle est définissable dans R. Dans cet exposé on montrera que les notions analogues dans le cas non-archimédien ont un comportement tout à fait différent : les fonctions définissables dans des expansions "minimales" de Qp et de Cp seront toujours polynomialement bornées. Une introduction à l'o-minimalité et aux notions de minimalité respectives dans le cadre non-archimédien sera faite (et aucune connaissance en théorie des modèles sera requise). Il s'agit d'un travail un commun avec Françoise Delon.

L'inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d'une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, j'expliquerai une preuve d'une conjecture d'Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d'hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge.

Les hypersurfaces qu'on considère proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d'hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d'Itenberg, nous développons un analogue réel de l'homologie tropicale et, à l'aide d'une suite spectrale, nous la comparons à l'homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L'homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d'une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l'hypersurface réelle provenant d'un patchwork.

C'est un travail en commun avec Kristin Shaw.

Je présenterai un modèle probabiliste de sous-complexes d'un complexe simplicial donné et en étudierai la topologie attendue ainsi que son comportement après un grand nombre de subdivisions barycentriques. C'est un travail en commun avec Nermin Salepci. Il vient compléter mes travaux antérieurs avec Damien Gayet dans le domaine de la topologie aléatoire