Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Je définirai l'homologie legendrienne dans une variété de contact à bord convexe, et présenterai quelques exemples naturels. Je calculerai ensuite l'homologie d'une fibre dans le complémentaire du conormal d'un noeud hyperbolique, ce qui permet de retrouver le noeud initial.

On montre que sur une variété close de dimension 3, tout champ de Reeb non dégénéré est porté par un livre brisé. On en déduit que :

• Tout champ de Reeb non dégénéré a 2 ou une infinité d'orbites périodiques et 2 orbites sont possibles uniquement sur la sphère ou les lenticulaires tendus.

• Sur une variété non graphée (par exemple hyperbolique) tout champ de Reeb non dégénéré a de l'entropie topologique.

C'est un travail en commun avec Pierre Dehornoy et Ana Rechtman.

Dans cette exposé, je vais expliquer comment la géométrie algébrique dérivée permet de redéfinir les invariants de Gromov-Witten de façon plus "naturel". Elle permet notamment d'avoir une définition plus canonique de la classe fondamentale virtuelle.

Les graphes noués dans les variétés de dimension 3 peuvent être vus comme une généralisation des noeuds. Nous allons définir un invariant de type signature pour une famille de graphes trivalents et nous ferons le lien avec les signatures classiques des noeuds. (Travail en commun avec Louis-Hadrien Robert.)

Open Gromov-Witten (OGW) invariants should count pseudoholomorphic maps from Riemann surfaces with boundary to a symplectic manifold, with boundary conditions and various constraints on boundary and interior marked points. The presence of boundary leads to bubbling phenomena that pose a fundamental obstacle to invariance. In a joint work with J. Solomon, we developed a general approach to defining genus zero OGW invariants. For real symplectic manifolds in dimensions 2 and 3, these invariants are strongly related to Welschinger's invariants.

The construction uses the heavy machinery of Fukaya A_\infty algebras. Nonetheless, in a recent work, also joint with J. Solomon, we find that the generating function of OGW invariants has many properties that enable explicit calculations. Most notably, it satisfies a system of PDE called the open WDVV equations. For projective spaces, this system of PDE generates recursion relations that allow the computation of all invariants.

No prior knowledge of any of the above notions will be assumed.

In dimension 3, the theory of codimension 2 contact submanifolds is better known as the transverse knot theory of a contact manifold, a theory which has a complete description in terms of braid theory. In higher dimensions, almost nothing is known, but there is a small (but growing) list of results. I will explain a method developed with A. Kaloti to use open books and Lefschetz fibrations to study codimension 2 contact embeddings. I will present as some initial applications and some interesting behaviors.

A higher genus version of Welschinger invariant was defined by Shustin for del Pezzo surfaces. These invariants count real curves of positive genera with signs. We study the properties of higher genus Welschinger invariants under Morse simplification. When the signs are defined by the number of solitary nodes, we prove that these higher genus Welschinger invariants depend only on the total number of real interpolated points. The result follows from a reduction of the genus and Brugallé's result on the invariance of genus zero Welschinger invariants.

On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu'il existe des plongements non équivalents. Certains d'entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)