Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Soit GW(d,g) le nombre de courbes algébriques de degré d et genre g dans CP^2 passant par 3d-1+g points. La conjecture de Göttsche stipule en particulier que ces nombres sont asymptotiquement donnés par un polynôme en d une fois fixé le nombre de points doubles des courbes énumérées (ie on fixe le cogenre au lieu du genre). Cette dernière hypothèse n'est pas gratuite, car il est bien connu que les nombres GW(d,g) grandissent de manière exponentielle en d lorsque g est fixé. En géométrie tropicale, il existe une version quantique, ou raffinée, des invariants de Gromov-Witten. Les nombres GW(d,g) sont alors remplacés par des polynômes de Laurent G(d,g)(q). Bien que les nombres GW(d,g) croissent exponentiellement à g fixé, on observe une résurgence de la polynomialité à la Göttsche dans les coefficients de leur pendants raffinés. Dans le cas des courbes rationnelles, je donnerai aussi des résultats de polynomialité des coefficients d'invariants descendants tropicaux raffinés, et les relierai à la géométrie énumérative réelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Andrés Jaramillo Puentes.

Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées. D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée). J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction Newton non-dégénérée sur un germe d’espace torique.

En géométrie énumérative, l'approche tropicale est parfois fort utile pour calculer effectivement certains invariants de part la nature combinatoire de cette dernière. De plus, sa richesse structurelle permet en fait de calculer bien plus que les invariants qui nous intéressent, et c'est par exemple le cas des polynômes de Block-Göttsche. Dès lors se pose la question de l'interprétation de tels invariants en géométrie classique et nombre de celles-ci restent encore conjecturales. Dans le cas des courbes planes, Mikhalkin propose d'interpréter le polynôme de Block-Göttsche comme un comptage de courbes réelles satisfaisant des conditions de tangence à l'infini en les discriminant suivant la valeur que prend l'aire de leur amibe. Nous allons tenter de poser les bases de ce que pourrait être un analogue en dimension supérieure.

En 1993, K. Kuperberg construit des exemples lisses et même analytique réels de flots sans points fixes et sans orbites périodiques sur toute variété fermée de dimension 3. Ces exemples sont à ce jour les uniques exemples de flots ayant ces propriétés. Il sont construits à l’aide de pièges. Un piège est une variété à bord et à coins, nous pouvons penser au produit d'un disque de dimension 2 par un intervalle, qui est munie d’un flot dont les orbites peuvent sortir. Il a la propriété de piéger des orbites : il y a des orbites qui rentrent dans le piège et ne ressortent jamais.

Une orbite piégée s’accumule sur un ensemble fermé invariant à l’intérieur du piège, celui-ci doit contenir un ensemble minimal du flot. Je vais présenter certains aspects de l’étude de l’ensemble minimal des exemples de K. Kuperberg. A ma connaissance, celui-ci est le premier ensemble minimal exceptionnel de dimension topologique deux. Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Steve Hurder.

Kontsevich's characteristic classes for framed smooth homology sphere bundles were defined by Kontsevich as a higher dimensional analogue of Chern-Simons perturbation theory in 3-dimension, developed by himself. In this talk, I will present an application of Kontsevich's characteristic class to a disproof of the 4-dimensional Smale conjecture, which says that the group of self-diffeomorphisms of the 4-sphere has the same homotopy type as the orthogonal group O(5). This leads, for example, to a negative answer to Eliashberg's problem, which asks if the space of compact-support symplectic structures on R^4 is contractible. In proving our result, we give and use a formula for the characteristic numbers for some bundles which counts gradient flow-graphs in the bundles. This is an analogue of K. Fukaya's Morse homotopy for families.

Depuis notamment les travaux de Kadeishvili dans les années 80, on sait que l'homologie d'une algèbre differentielle graduée hérite d'un structure d'algèbre associative à homotopie près. Après avoir rappeler ce résultat classique, et avoir redéfini la notion de propérade. je présenterai une généralisation de ce résultat à toute algèbre sur une propérade. Je définirai notamment la notion d'infini-morphismes entre de telles algèbres, retrouvant notamment le cas particulier des bialgèbres de Lie involutives à homotopie près, déjà traité par Cieliebak, Fukaya et Latschev. Ceci est un travail en commun avec E. Hoffbeck et B. Vallette de Paris 13.

We study two different invariants of framed oriented links. Augmentations are rank one representations of a non-commutative algebra, whose definition is motivated by Floer homology. Sheaves in microlocal theory can be thought of as generalizations of link group representations. We will demonstrate two constructions going back and forth between these invariants. We will also tell a motivating story behind the scene, using SFT and microlocalization correspondence in symplectic topology.

Kontsevich's recursion, proved by Ruan-Tian in the early 90s, enumerates rational curves in complex surfaces. Welschinger defined invariant signed counts of real rational curves in real surfaces (complex surfaces with a conjugation) in 2003. Solomon interpreted Welschinger's invariants as holomorphic disk counts in 2006 and proposed Kontsevich-type recursions for them in 2007, along with an outline for adapting Ruan-Tian's homotopy style argument to the real setting. For many symplectic fourfolds, these recursions determine all invariants from basic inputs. We establish Solomon's recursions by re-interpreting his disk counts as degrees of relatively oriented pseudocycles from moduli spaces of stable real maps and lifting cobordisms from Deligne-Mumford moduli spaces of stable real curves.