Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

L'homologie de Novikov est une version de l'homologie de Morse adaptée à l'étude des formes fermées non exactes. Bien moins célèbre que la théorie de Morse, elle n'en joue pas moins un rôle clef dans de nombreuses situations, en particulier en topologie symplectique, où elle intervient de façon fondamentale en théorie de Floer.

Mais de même que la théorie de Morse ne se résume pas à une théorie homologique et donne accès à bien plus d'information sur la variété considérée, la théorie de Novikov devrait elle aussi aller au-delà de la définition d'une homologie. Le but de l'exposé est de présenter la construction d'un analogue du groupe fondamental en théorie de Novikov. Ce "groupe fondamental de Novikov" fournit en particulier de nouvelles contraintes sur les points critiques des 1 formes dans une classe de cohomologie donnée, dont on illustrera sur des exemples qu'elles sont de nature homotopique plutôt qu'homologique. C'est un travail en commun avec A. Gadbled, R. Golovko, et H.V. Le.

Given a closed symplectic manifold X, and a differentiable manifold L, can we embed L into X as a Lagrangian submanifold? This central question in Symplectic Geometry is far from being resolved. According to the Symplectic Field Theory approach (as proposed by Eliashberg, Givental and Hofer about 20 years ago) if L is embeddable to X then enumerative invariants of TL-L and X must be compatible. If L is a real torus then TL coincides with (C*)^n and its enumerative geometry is described by the tropical geometry in R^n. In this talk we'll look at some other examples of L when tropical geometry comes into play, including the famous "conifold transition" case of L=S^3 and its finite quotients. We'll also consider some cases when L is disconnected or singular.

Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré en droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans l'exposé, on s'intéressera aux sections réelles d'un fibré en droites au dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie au hasard.

Une célèbre conjecture de Kontsevich relie la catégorie des faisceaux cohérents sur une variété algébrique à la catégorie de Fukaya d'une variété de symplectique : il s'agit du phénomène de symétrie miroir. Je présenterai une nouvelle construction de la catégorie de Fukaya enroulée d'un domaine de Liouville ainsi que quelques avantages de cette construction.

Nous montrons que le foncteur de normalisation de la correspondance de Dold-Kan n'induit pas une équivalence de Quillen entre la catégorie de modèle des cogèbres simpliciales de Goerss et la catégorie de modèle des cogèbres différentielles graduées de Getzler-Goerss.

Soit U la catégorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo p. On note K(U) le groupe de Grothendieck de la catégorie des modules instables injectifs réduit de type fini. On peut montrer que la tensorisation par C de K(U) est une algèbre de polynômes. Dans cette exposé, on définira un famille de générateurs polynomiaux en utilisant le lien entre K(U) et les représentations modulaires des groupes linéaires sur le corps fini à p éléments. Cette famille a la propriété d'être formée de vecteurs propres pour l'action sur K(U) du foncteur T de Lannes. De plus, la simplicité de ces générateurs facilite les calculs et permet de répondre à certaines conjectures concernant les séries Poincaré des objets de U. Ceci est un travail en commun avec Nguyen Dang Ho Hai.

Chern-Schwarz-Macpherson (CSM) classes are one way to extend the notion of Chern classes of the tangent bundle to singular and non-complete algebraic varieties. I will present a combinatorial analogue of CSM classes for matroids, motivated by the geometric case of hyperplane arrangements. The CSM classes of matroids are polyhedral fans which satisfy a balancing condition, in other words they are Minkowski weights. One goal for defining these classes is to express matroid invariants using the language of algebraic geometry and in turn use geometric intuition to study the properties of these invariants. The first example is the shifted characteristic polynomial of a matroid, which for graphical matroids is related to the chromatic polynomial. CSM classes can be used to study more general objects beyond the world of matroids, known as tropical manifolds. This is based on joint work with Lucia López de Medrano and Felipe Rincón.

Pour les singularités cuspidales de 3 variables, une construction similaire à celle expliquée à l'exposé précédent est possible. On peut généraliser la construction en terme de livre ouvert. Utilisant une operation sur les livres ouverts une série d'exemples intéressantes est construite sur S^4 x S^1 (l’exemple d'Atsuhide Mori). Nous discutons aussi de donner une fibration de Lefschetz feuilletée, proposée par F. Presas. Grâce à un théorème de Gompf, cela donne des structures symplectiques aux feuilles.