Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Étant donné une (p+q)-variété fermée munie d'un feuilletage F de dimension q, l'existence d'un feuilletage G supplémentaire, c'est-à-dire de codimension q et transverse à F, est bien sûr en général un problème insoluble; mais pour q>=2, si l'on affaiblit la condition de transversalité en demandant seulement que G soit limite de champs de p-plans transverses à F, je donnerai une version du h-principe de Gromov pour de tels feuilletages "quasi-supplémentaires". Il en résulte une preuve nouvelle du théorème de Mather-Thurston. Les outils, outre des méthodes classiques de construction de feuilletages, sont essentiellement la théorie des immersions de Smale, la théorie des rides d'Eliashberg-Mishachev, et une version fine de la cancellation des paires de singularités pour les fonctions de Morse.

We show that the mutant 2-component pretzel links P(p,q,-q,-p) and P(p,q,-p,-q) are not concordant for any distinct odd integers p and q greater than 1. As a corollary, we obtain a proof of the slice-ribbon conjecture for 4-stranded 2-component pretzel links. In order to distinguish mutant links up to concordance we consider 3-fold branched covers and use an obstruction based on Donaldson's diagonalization theorem. This is joint work with Min Hoon Kim, JungHwan Park and Arunima Ray.

We give simple conditions for a collection of rational homology spheres to be linearly independent in the rational homology cobordism group. These translate immediately to statements about knot concordance, recovering some results of Livingston and Naik. The key ingredient is correction terms (of either flavour). This is joint work with Kyle Larson.

Oeljeklaus-Toma manifolds are a higher dimension generalization of Inoue-Bombieri surfaces and were introduced by K. Oeljeklaus and M. Toma in 2005. They are quotients of H^s * C^t by discrete groups of affine transformations arising from a number field K and a particular choice of a subgroup of units U of K. They are commonly referred to as OT manifolds of type (s, t). OT manifolds have been of particular interest for locally conformally Kähler (lcK) geometry since they do not admit Kähler metrics, but those of type (s, 1) admit lcK metrics and for (s, t) in general, the existence of an lcK metric reduces to a numerical condition.

In this talk, we compute their de Rham and twisted cohomology and derive from this several characterization problems concerning their lcK geometry.

We discuss a link between the geometry of hyperbolic three-manifolds and their Floer theoretic invariants, provided by spectral geometry. In particular, we provide sufficient conditions for a hyperbolic three-manifold to be an L-space (i.e. the Floer homology group has the least possible rank) in terms of its volume and the geodesic spectrum (i.e. the set of lengths of closed geodesics). We discuss several explicit (numerical) examples in which this criterion can be applied. This is joint work in progress with Michael Lipnowski.

Avec D. Pecker, nous avons montré que tout nœud de R^3 est un nœud de Chebyshev, ie admet une représentation polynomiale de la forme ( Ta(t),Tb(t), Tc(t+\phi) ) où a,b,c sont des entiers, \phi est un rationnel et Tn(x)= cos( n arcos x) est un polynôme de Chebyshev.

Avec F. Rouillier et C. Tran, nous avons proposé un algorithme pour identifier les nœuds de Chebyshev à 2 ponts (cas a=3, (a,b)=1, c fixé et \phi variant).

L'exposé abordera les différents aspects de ce problème : géométrique, calculatoire - et évoquera la question plus générale qui est de déterminer, pour les nœuds rationnels, une représentation polynomiale de degré minimal, sujet étudié avec E. Brugallé.

La classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles d'un degré fixé dans le plan projectif réel est un sujet classique dans lequel il y a eu beaucoup d'avancements depuis 1970. Dans cette exposé nous allons présenter une classification similaire dans une surface ambiante differente: la quadrique ellipsoide. On exposera le problème de faire une classification des types topologiques réalisés par des courbes algébrique réelles non-singulières de bi-degré fixé (d,d) dans cette surface (en particulier pour d=5), quels sont les types topologiques possibles et comment on peut construire des courbes algébrique réelles qui les réalisent. Finalement, par rapport a la construction, on présentera une version du théorème de Patchwork de Viro (T-construction) et on donnera des examples de constructions.

Un théorème de Chris Miller énonce que si R est une expansion o-minimale du corps des nombres réels alors ou bien R est polynomialement bornée, ou bien la fonction exponentielle est définissable dans R. Dans cet exposé on montrera que les notions analogues dans le cas non-archimédien ont un comportement tout à fait différent : les fonctions définissables dans des expansions "minimales" de Qp et de Cp seront toujours polynomialement bornées. Une introduction à l'o-minimalité et aux notions de minimalité respectives dans le cadre non-archimédien sera faite (et aucune connaissance en théorie des modèles sera requise). Il s'agit d'un travail un commun avec Françoise Delon.