Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Autrement dit, comment plonger isométriquement une sphère unité dans une boule de rayon arbitrairement petite ? Ceci est impossible en classe C^2 car la courbure de Gauss fournit une obstruction. En revanche, un tel plongement existe en classe C^1. Ce résultat contre-intuitif date des années 50, il est dû à Nash et Kuiper. Nous expliquerons comment, avec la technique de l'intégration convexe de Gromov, on peut construire un tel plongement. Nous en présenterons des images.

Si P1,...,Pn, Q1,...,Qn sont des polytopes convexes à sommets dans le réseau Z^n des points entiers de R^n tels que Pi soit inclus dans Qi pour tout i=1,...,n, alors le volume mixte de (P1,...,Pn) est majoré par celui de (Q1,...,Qn). Dans un travail récent avec Ivan Soprunov (Cleveland University), nous caractérisons les paires de n-uplets de polytopes pour lesquelles cette inégalité est stricte. Le lien fondamental entre volume mixte et systèmes polynomiaux est le théorème de Bernstein-Kouchnirenko qui prédit que le nombre de solutions d'un système polynomial de polytopes de Newton P1,...,Pn est génériquement égal au volume mixte de ces polytopes. On utilise notre critère pour obtenir une notion de règle de Cramer pour les systèmes polynomiaux, qui généralise celle connue dans le cas linéaire.

En géométrie algébrique complexe, le théorème de Lefschetz (1,1) classifie les classes de cohomologie d'une variété complexe projective qui sont les classes de Chern des fibrés en droites. Je présenterai un analogue de ce théorème pour les espaces polyédraux en utilisant les concepts de la géométrie tropicale. Les classes de cohomologie tropicale qui proviennent des fibrés en droites tropicaux sont précisément les classes dans le noyau d'une application introduite par Mikhalkin et Zharkov. Pour une variété tropicale lisse de dimension n, nous nous servons d'une dualité de Poincaré pour décrire les cycles en homologie tropicale de degré (n-1, n-1) qui proviennent des cycles tropicaux. Ces cycles tropicaux sont des candidats de tropicalisation de cycles algébriques. Je présenterai des exemples et corollaires de ces énoncés.

Ceci est du travail en commun avec Philipp Jell et Johannes Rau

Dans cet exposé nous donnerons une description de la chirurgie lagrangienne par l'intermédiaire des relevés legendriens des lagrangiennes concernées. Nous utiliserons ensuite le complexe de Floer des cobordismes associés à cette chirurgie pour relier l'homologie de Floer de la chirurgie à celle des lagrangiennes de départ. Ces considérations permettent de donner une description géométrique de ce certains cônes dans la catégorie de Fukaya. Travail joint avec G. Dimitroglou-Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko.

Le but de l’exposé est de décrire un isomorphisme entre les groupes de Chow d'un matroïde M et les groupes de cohomologie tropicale / de Dolbeault d'une compactification de l'éventail de Bergman de M. Toutes les terminologies employées seront rappelées pendant l’exposé.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. On peut voir le plan projectif comme variété complexe ou réelle, et par conséquence on regarde le groupe de Cremona complexe ou le groupe Cremona réel. Le premier n’a pas de morphisme non-trivial vers un groupe fini, par contre, le deuxième a un nombre dénombrable de morphismes surjectifs vers le groupe d’ordre 2. Dans cet exposé j’aimerais discuter ce phénomène et l'envisager sur d’autres corps de base.

Nous rappelons le calcul de l'anneau de cohomologie du schéma des Hilbert des points sur une surface (dans le cas du plan affine ou d'une surface symplectique) puis étudions ses générateurs

On relie les courbures de Lipschitz-Killing d’un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982).

On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.

Les invariants de Welschinger sont les analogues réels des invariant de Gromov-Witten en genre 0, et fournissent des bornes inférieures non triviales en géométrie énumérative réelle. Leur calcul et étude dans le cas des surfaces algébriques rationnelles réelles est toujours un problème d'actualité. Toutes ces surfaces, à déformation près, sont obtenues à partir de CP^2 et CP^1*CP^1 à l'aide de seulement deux opérations: éclatement et chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle. Ainsi, comprendre le comportement des invariants de Welschinger par ces deux opérations permettrait de ramener l'étude d'une surface rationnelle réelle quelconque à celle de deux surfaces déjà bien étudiées. J'expliquerai dans cet exposé comment traiter le cas d'une chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle. Allié à des calculs antérieurs, ce travail permet en particulier le calcul des invariants de Welschinger de toutes les surfaces de del Pezzo réelles. Je rappellerai les définitions nécessaires à la compréhension des paragraphes précédents.