Nous rappelons le calcul de l'anneau de cohomologie du schéma des Hilbert des points sur une surface (dans le cas du plan affine ou d'une surface symplectique) puis étudions ses générateurs
On relie les courbures de Lipschitz-Killing d’un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982).
On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.
Les invariants de Welschinger sont les analogues réels des invariant de Gromov-Witten en genre 0, et fournissent des bornes inférieures non triviales en géométrie énumérative réelle. Leur calcul et étude dans le cas des surfaces algébriques rationnelles réelles est toujours un problème d'actualité.
Toutes ces surfaces, à déformation près, sont obtenues à partir de CP^2 et CP^1*CP^1 à l'aide de seulement deux opérations: éclatement et chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle. Ainsi, comprendre le comportement des invariants de Welschinger par ces deux opérations permettrait de ramener l'étude d'une surface rationnelle réelle quelconque à celle de deux surfaces déjà bien étudiées.
J'expliquerai dans cet exposé comment traiter le cas d'une chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle. Allié à des calculs antérieurs, ce travail permet en particulier le calcul des invariants de Welschinger de toutes les surfaces de del Pezzo réelles.
Je rappellerai les définitions nécessaires à la compréhension des paragraphes précédents.
The notion of Quillen cohomology, first defined by Quillen in his seminal book and later extended to include coefficients in spectra, is a universal form of cohomology which enjoys a wide range of applications: it features in obstruction theories and spectral sequences abutting to mapping spaces, controls deformations of objects in the relevant contexts and tends to appear in moduli problems classifying objects realizing a given cohomological invariant. In this talk we will describe an approach to the computation of Quillen cohomology of categories enriched in a well behaved model category S. When S is the category of simplicial sets one recovers a model for the theory of oo-categories, in which case our computation identifies the Quillen cohomology of an oo-category C as the cohomology of spectrum valued functors on the twisted arrow category of C. When S is the category of marked simplicial sets one recovers a model for the theory of (oo,2)-categories, in which case our computation identifies the Quillen cohomology of an (oo,2)-category C with the cohomology of spectrum valued functors indexed by what we call the twisted 2-cell category of C. These results can be used to give explicit and computable obstruction theories for problems such as lifting homotopy commutative diagrams (in either a 1-categorical or a 2-categorical setting). This is joint work with Joost Nuiten and Matan Prasma.
We shall discuss the enumerative problem of counting the number
of complex curves (in complex projective space of dimension 2) which pass
through the requisite number of generic points and has a prescribed
singularity at one point. Our exposition will be from a topological point
of view via the ubiquitous Euler class.
Demailly (2012) showed that the Hodge conjecture is
equivalent to the statement that any (p,p)-dimensional closed current
with rational cohomology class can be approximated by linear
combinations of integration currents; Moreover, the statement that any (p,p)-dimensional closed current
with rational cohomology class can be approximated by linear
combinations of integration currents; Moreover, the statement that all
strongly positive currents with rational cohomology class can be
approximated by positive linear combinations of integration currents,
can be viewed as a strong version of the Hodge conjecture (1982). In
this talk, I will explain the construction of a current which does not
verify the latter statement on a toric variety, where the Hodge
conjecture is known to hold. The example belongs to the family of
`complex tropical currents', which we extend their
framework to toric varieties, discuss their extremality properties,
and express their cohomology classes as recession fans of their
underlying tropical varieties. Finally, the counter-example will be
the tropical current associated to a 2-dimensional balanced subfan of
a 4-dimensional toric variety, whose intersection form does not have
the right signature in terms of the Hodge index theorem. This is a
joint work with June Huh.
La conjecture de Weinstein affirme que tout champ de Reeb sur une variété close possède une orbite périodique.
Dans cet exposé, on présentera une stratégie de preuve pour le cas des variétés de contact portées par un livre ouvert de forme particulière :
la page est obtenue en attachant à un domaine de Weinstein une anse critique le long d'une sphère legendrienne lâche et homologiquement triviale.
Cette approche s'appuie sur des travaux récents de Bourgeois, Ekholm et Eliashberg sur les anses critiques
