Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

L'exposé sera consacré à une version de l'alternative de Tits pour le groupe des automorphismes d'un produit libre. Un théorème de Grushko affirme que tout groupe de type fini se scinde en un produit libre de la forme G=G1*...*Gk*F_N, où chaque facteur G_i est non trivial, non isomorphe à Z, et librement indécomposable. Je montre que si chacun des groupes G_i et Out(G_i) satisfait l'alternative de Tits, alors Out(G) la satisfait également. Je donnerai quelques applications de ce théorème, et j'en présenterai une démonstration, en parallèle avec une preuve nouvelle de l'alternative de Tits pour le groupe modulaire d'une surface compacte orientable. La démonstration repose sur l'étude de l'action de sous-groupes de Out(G) sur divers espaces géométriques, en particulier sur un complexe simplicial hyperbolique.

Remarque : cet exposé est commun au séminaire TGA et à la rencontre finale de l'ANR Geode.

(Travail en collaboration avec Paul Balmer et Beren Sanders.) Dans les années 90's, Amnon Neeman a su redémontrer de façon élégante la dualité de Grothendieck en géométrie algébrique grâce à des techniques empruntées à la topologie, telles les colimites homotopiques et la représentabilité de Brown ; le cadre permettant ce commerce d'idées est celui des catégories triangulées. En 2003, Fausk, Hu et May ont remarqué la forte analogie formelle entre la dualité de Grothendieck et l'isomorphisme de Wirthmüller en homotopie stable équivariante; il s'agit d'étudier l'existence de foncteurs adjoints à droite et à gauche d'un foncteur tensoriel, et les relations entre eux.

Dans le contexte des catégories triangulées tensorielles, nous poursuivons ce filon d'idée en étudiant tous les foncteurs adjoints possibles, et adjoints des adjoints, etc., à un foncteur tenseur-exact, ainsi que les possibles formules les reliants entre eux. Nous découvrons que l'isomorphisme de Wirthmüller n'est qu'un cas spécial de la dualité de Grothendieck. Cette étude nous permet aussi de développer une théorie généralisée de la dualité qui, en plus de la dualité de Grothendieck, capture d'autres phénomènes tels la dualité de Matlis-Pontryagin en algèbre locale et la dualité de Brown-Comenetz en topologie.

Une partie des avancées récentes dans l'étude du groupe de Cremona (ou groupe des transformations birationnelles du plan projectif) repose sur l'action de ce groupe sur une version de dimension infinie du disque hyperbolique. Ceci n'était pas complètement inattendu : en se restreignant à des sous-groupes naturels, on obtient de manière transparente des actions sur d'autres espaces hyperboliques : sous-groupe GL(2,Z) des transformations monomiales agissant sur le disque de Poincaré, et de façon moins anecdotique sous-groupe des automorphismes polynomiaux agissant sur son arbre de Bass-Serre... Après avoir rappelé ce contexte et quelques résultats en dimension 2 (description des centralisateurs, sous-groupes normaux, spectre dynamique...), je discuterai de travaux récents (voire en cours) laissant penser que ces phénomènes (action sur un graphe hyperbolique) pourraient persister en dimension trois, par exemple pour le groupe des automorphismes polynomiaux modérés de C^3.

Le span de la variable q dans la représentation de Lawrence-Krammer-Bigelow est égal à deux fois la longueur duale de Garside d'une tresse, comme conjecturé par Krammer. Dans cet exposé j'expliquerai d'abord ce que cet énoncé veut dire. Ensuite, je ne donnerai pas toute la démonstration, mais j'expliquerai juste un lemme clé : la longueur duale d'une tresse peut être lue d'une façon naïve et surprenante dans le diagramme de courbes de la tresse. Il s'agit d'un travail avec Tetsuya Ito.

CoqHoTT: Coq for Homotopy Type Theory

The goal of this project is to go further in the correspondence between proofs and programs which has allowed in the last 20 years the development of useful proof assistants, such as Coq (developed by Inria). Those assistants have shown their efficiency to prove correctness of important pieces of software but their democratization suffers from a major drawback, the mismatch between equality in mathematics and in type theory (which is the theory at the heart of Coq). Thus, significant Coq developments have only been done by virtuosos playing with advanced concepts of both computer science and mathematics. Recently, an extension of type theory with homotopical concepts has been proposed by field medal Vladimir Voevosdky, which allows for the first time to get the right notion of equality in theorem provers. The main goal of the CoqHoTT project is to provide a new generation of proof assistants based on this fascinating connection between homotopy theory and type theory.

In this talk, I will spend a long time presenting the basics of Type Theory and Homotopy Type Theory and try to present quickly the main goal of the CoqHoTT project.

Dans cet exposé, je parlerai de plongements symplectiques de domaines toriques en dimension quatre et d'un nouveau résultat qui relie l'espace des trajectoires des billes sur une table de billard avec un domaine torique. J'expliquerai comment certaines capacités symplectiques qui dérivent de l'homologie de contact plongée peuvent être utilisées pour montrer que certains plongements sont optimaux.

En-algebras, algebraic analogues of n-fold loop spaces, come with a suitable notion of cohomology, called En-cohomology. In this talk, I will explain how to interpret En-cohomology of a commutative algebra with coefficients in a symmetric bimodule as functor cohomology and discuss the Yoneda pairing in this context.

Pour les algèbres de Lie, l'homologie de Leibniz est une version non-commutative de l'homologie de Chevalley-Eilenberg. Dans cet exposé, nous montrons comment écrire cette théorie homologique comme de l'homologie de foncteurs, c'est-à-dire un Tor sur une catégorie de foncteurs. Ce résultat est dans la continuité de travaux de Pirashvili et Richter, Robinson et Whitehouse pour les algèbres associatives ou commutatives. Ceci est un travail en commun avec Christine Vespa.

Embedded contact homology is an invariant of a three-manifold isomorphic to Heegaard Floer homology and Seiberg-Witten Floer homology. However, ECH chain complex depends on the choice of a contact form on the manifold and is of interest for studying symplectic geometric properties (e.g. ECH capacities). Extending the work of Hutchings-Sullivan, we combinatorially describe  the ECH chain complexes of toric contact manifolds such as T^3 with a T^2-invariant contact form.

Dans la philosophie des décompositions en livres ouverts adaptées à des structures de contact, on va construire des domaines fibrés adaptés à un ensemble de structures de contact. On verra ensuite comment cette construction, dans un cas particulier à bord, peut donner des résultats de stabilisation sur les nœuds legendriens et des résultats de finitude sur les nœuds transverses.