Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Pour les algèbres de Lie, l'homologie de Leibniz est une version non-commutative de l'homologie de Chevalley-Eilenberg. Dans cet exposé, nous montrons comment écrire cette théorie homologique comme de l'homologie de foncteurs, c'est-à-dire un Tor sur une catégorie de foncteurs. Ce résultat est dans la continuité de travaux de Pirashvili et Richter, Robinson et Whitehouse pour les algèbres associatives ou commutatives. Ceci est un travail en commun avec Christine Vespa.

Embedded contact homology is an invariant of a three-manifold isomorphic to Heegaard Floer homology and Seiberg-Witten Floer homology. However, ECH chain complex depends on the choice of a contact form on the manifold and is of interest for studying symplectic geometric properties (e.g. ECH capacities). Extending the work of Hutchings-Sullivan, we combinatorially describe  the ECH chain complexes of toric contact manifolds such as T^3 with a T^2-invariant contact form.

Dans la philosophie des décompositions en livres ouverts adaptées à des structures de contact, on va construire des domaines fibrés adaptés à un ensemble de structures de contact. On verra ensuite comment cette construction, dans un cas particulier à bord, peut donner des résultats de stabilisation sur les nœuds legendriens et des résultats de finitude sur les nœuds transverses.

Quand deux algèbres de dimension finie ont-elles la même catégorie dérivée? Le cas où les deux algèbres ont dimension globale $\leq 1$ est une question classique traitée par Dieter Happel dans les années 80. Dans cet exposé, j'expliquerai comment ce résultat peut se généraliser dans le cas où la dimension globale est $\leq 2$. Puis je donnerai une grande famille d'exemples: les algèbres de surface, dans lesquels le résultat devient beaucoup plus précis.

Lagrangian Floer cohomology is the best tool to study the intersection theory of Lagrangian submanifolds of a given symplectic manifold. Unfortunately it cannot be defined in general, instead there is a more complicated algebraic invariant, a filtered A-infinity algebra, known as the Fukaya algebra, introduced by Fukaya-Oh-Ohta-Ono . In this talk we will review its constructions and describe the Fukaya algebra of the product of two Lagrangians. For this we will first have to define the tensor product of A-infinity algebras.

In recent years, low dimensional topologists have become interested in the study of "generic" smooth maps to surfaces. The approach is similar to Morse theory, only with two dimensional target. In this talk, I will discuss a specific problem in the 4-dimensional context which is analogous to the (uniqueness of) cancellation of critical points of Morse functions. I will also indicate applications to certain pictorial descritpions of 4-manifolds in terms of curve configurations on surfaces. This is joint work with Kenta Hayano.

Nous construisons une famille de relations entre les classes de cohomologie dites tautologiques de l'espace des modules Mbar_{g,n} des courbes stables de genre g avec n points marqués. Cette famille contient toutes les relations connues à ce jour et on conjecture qu'elle est complète et optimale. La construction utilise la classe 3-spin de Witten et la classification des théories cohomologiques des champs de Givental-Teleman.

We will survey some of the history of the three-body problem, and then discuss how contact geometry can be used to get some new insights. In particular, we will describe how finite energy foliations can be used to find global surfaces of section. We use these global surfaces of section to display some interesting dynamics.

If we have are two commuting symplectomorphisms of a symplectic manifold, each one of them induces an automorphism of Floer cohomology of the other one. I will show that the supertraces of these two automorphisms are equal, developing a suggestion by Paul Seidel. As a particular case, I will explain that if a symplectomorphism f commutes with a symplectic involution, the dimension of HF(f) is bounded below by a topological quantity: the Lefschetz number of the restriction of f to the fixed locus of the involution. I will then use this bound to prove that Dehn twists in most projective hypersurfaces have infinite order in the symplectic mapping class group, though sometimes they have finite order in the smooth mapping class group.

On commencera par un rappel sur les structures auto-distributives (quandles, racks etc.), leurs homologies et leurs applications aux théories des nœuds et des tresses. Ensuite on présentera une théorie homologique des opérateurs de Yang-Baxter, où le flot d’idées va changer de sens : c’est la théorie des tresses qui va donner des méthodes et des inspirations pour une étude algébrique. La 3ème partie de l’exposé fermera la boucle : on munira diverses structures algébriques (quandle, algèbre associative, algèbre de Lie, bigèbre etc.) d'opérateurs de Yang-Baxter, de telle sorte que la théorie homologique associée contienne les homologies usuelles des structures en question. Comme application, on obtient une explication conceptuelle des parallèles entre les théories homologiques des structures auto-distributives et associatives, mis en évidence par J.Przytycki.