Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

J'ai travaillé à Berkeley sur des modules croisés de racks avec Alissa Crans (Loyola Marymount University, LA).

La notion de rack généralise celle de groupe en axiomatisant les propriétés de la conjugaison. Un module croisé de racks est la donnée d'un rack R, d'un rack module X et d'un morphisme équivariant f: X -> R. Fenn et Rourke ont défini un rack, appelé le rack fondamental, associé à un entrelacs L \subset Q.

Le complémentaire du fibré normal en disques de la sous-variété L est appelé Q0. Le rack fondamental raffine l'invariant de Whitehead pi2(Q,Q0) -> pi1(Q_0), qui est lui-même un module croisé de groupes. En fait, c'est ce module croisé qui a incité Whitehead à introduire les modules croisés de groupes.

Nous montrons dans notre travail avec Alissa qu'on peut associer un module croisé de racks fondamentaux à une situation où un revêtement est muni d'entrelacs compatibles.

On décrit la topologie de l'entrelacs d'un germe de surface complexe à singularités non isolées et on montre que cet entrelacs permet de décrire le graphe de plombage d'une bonne résolution minimale. On peut donner des exemples explicites.

Suite aux travaux de Kadeishvili, on sait que la double construction cobar d'un ensemble simplicial X est munie d'une structure de G-algèbre homotopique. On s'intéressera à l'extension de cette structure en une structure de BV-algèbre homotopique donnée par l'opérateur de Connes. On établira un critère à cette extension en terme de structure de G-coalgèbre homotopique sur les chaines de X. En application, on obtiendra une réponse positive lorsque l'ensemble simplicial considéré est une double suspension sur un anneau commutatif. En outre, lorsque l'anneau de base est celui des nombres rationnels, cette extension sera obtenue pour tout ensemble simplicial (2-réduit) par "symétrisation" de la bialgèbre qu'est la (première) construction cobar de X.

Symplectic homology is a very useful tool in symplectic topology, but it can be hard to compute explicitly. We will review the definition of this invariant and some of its features. Then, we describe a procedure for computing symplectic homology in terms of certain Gromov-Witten invariants. This method is applicable to a class of manifolds that are obtained by removing, from a closed symplectic manifold, a symplectic hypersurface of codimension 2. This is joint work with Samuel Lisi.

Dans cet exposé, nous définirons un complexe de Floer d'intersection lagrangienne associé à deux cobordismes lagrangiens entre variétés legendriennes. Nous montrerons ensuite que les groupes d'homologie associés font partie d'une suite exacte longue dont les autres termes sont les groupes d'homologie de contact legendriennes bilinéarisées des extrémités. Parmi les applications nous déduirons des obstructions à l'existence de concordances lagrangiennes et nous donnerons des restrictions sur l'homologie des cobordismes lagrangiens. Ce travail est une collaboration avec Paolo Ghiggini.

The Gromov-Eliashberg theorem states that a diffeomorphism which can be written as a C^0 limit of symplectomorphisms is itself a symplectomorphism.  In this talk, I will show that coisotropic submanifolds and their characteristic foliations exhibit similar rigidity properties.  This is joint work with Vincent Humiliere and Remi Leclercq.

Le théorème de Gromov-Eliashberg affirme que toute limite C^0 d'une suite de symplectomorphismes est symplectique. Cette rigidité a ouvert la voie à la géométrie symplectique C^0 qui étudie les analogues continus des objets classiques. Un résultat fondateur de la dynamique hamiltonienne C^0 a été l'unicité des "générateurs": toute fonction hamiltonienne continue qui est la limite uniforme d'hamiltoniens, dont les flots convergent vers l'identité, est nécessairement nulle. Je vais expliquer une généralisation de ce résultat où la distance C^0 est remplacée par d'autres distances naturelles ainsi que certaines de ses conséquences. Ceci résulte d'une collaboration avec V. Humilière and S. Seyfaddini.

Recent progress on the nearby Lagrangian conjecture has revealed that a closed (compact without boundary) exact Lagrangian in a cotangent bundle is homotopy equivalent to the base. Another recent result by Abouzaid has shown that for some spheres it in fact has to be diffeomorphic to the base. There is, however, a similar question of interest yet in a slightly different direction. Since Lagrangian immersions satisfies an h-principle they are easy to classify, and odd dimensional spheres has an infinite number of classes up to regular isotopy. However, the question: which immersions classes admits an embedded representative is hard. In this talk I will present some current work with Abouzaid using stable homotopy types in place of symplectic homology to partially answer this question for spheres.