Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Le patchwork combinatoire est une méthode de construction de variétés algébriques réelles qui a été découverte par Oleg Viro dans les années 80, dont on est loin encore de comprendre toutes les propriétés. Dans un travail en commun avec Diego Matessi, nous nous intéressons aux patchworks dans les polytopes réflexifs, ce qui produit des hypersurfaces de Calabi-Yau. Par les travaux de Batyrev des années 90, ces hypersurfaces possèdent un miroir. Nous observons alors qu’un patchwork correspond à un diviseur dans le miroir et nous montrons certaines propriétés du patchwork en termes de la variété miroir. Par exemple, le patchwork produit une variété algébrique réelle connexe ssi le diviseur est non trivial.

A famous theorem of Laudenbach and Poénaru says that any diffeomorphism of the boundary of a 4-dimensional 1-handlebody extends to a diffeomorphism of the whole handlebody. I will present a new proof of this result using Heegaard splittings and a generalization to 4-dimensional compression bodies. I will also explain why this is essential in the theory of trisections.

Joint work with Trenton Schirmer.

Taut foliations have been a classical object of study in 3-manifolds theory. Recently, new interest in them has come from the investigation of the so-called "L-space conjecture", that predicts that manifolds containing a co-orientable taut foliation can be characterised in terms of their Heegaard Floer homology and their fundamental group. A possible approach to the study of this conjecture is analysing Dehn surgeries on knots and links. Most of the techniques employed for constructing taut foliations on Dehn surgeries usually make use of some property of the exterior of the link, for example its fiberedness. It is therefore interesting to address this study from a different perspective, using other types of properties of knots and links. In this talk I will present a result about the existence of taut foliations on all non-trivial surgeries on knots with a special diagram.

Van de Ven a démontré en 1959 que les sous-variétés de l'espace projectif dont la suite du fibré normal est scindée sont des sous-espaces linéaires. Dans cet exposé j'expliquerai une généralisation de ce résultat aux variétés homogènes rationnelles : une sous-variété d'une variété homogène rationnelle dont la suite du fibré normal est scindée est une variété homogène rationnelle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Andreas Höring.

Cet exposé portera sur une version semi-algébrique du problème de prolongement de Whitney : si une fonction semi-algébrique f:X→ℝ définie sur un fermé X⊂ℝⁿ admet un prolongement F:ℝⁿ→ℝ de classe Cᵐ, alors admet-elle nécessairement un prolongement de classe Cᵐ qui soit aussi semi-algébrique ?

Après quelques rappels sur la géométrie semi-algébrique, je présenterai les résultats positifs connus à ce jour : pour les fonctions de classe C¹ (Aschenbrenner-Thamrongthanyalak), dans le plan (Fefferman-Luli) et pour n et m quelconques mais avec une perte de régularité (travail en collaboration avec E. Bierstone et P. Milman).

L’étude des sous-variétés legendriennes modulo isotopie legendrienne est un thème central en géométrie de contact. Pour construire des invariants homologiques fins pour d’importantes classes de telles sous-variétés, trois approches sont disponibles : les courbes holomorphes, les familles génératrices et les faisceaux. La première approche donne lieu à des structures algébriques plus complexes et qui nécessitent un choix d’augmentation pour en extraire des invariants calculables. Ces trois approches devraient être équivalentes, mais cela n’est établi par calcul combinatoire qu’en petite dimension. En vue d’attaquer cette question en toute dimension, on construit par analyse géométrique un foncteur depuis la catégorie des augmentations vers la catégorie dérivée des faisceaux. Le but de cet exposé est d’expliquer tout cela d’une manière abordable pour les non spécialistes. Il s’agit d’un travail en cours avec Claude Viterbo.

Une hypersurface $S$ (qu'on supposera toujours compacte) d'une variété symplectique $(W,\omega)$ porte un feuilletage naturel appelé feuilletage caractéristique. Une question classique est de savoir si ce feuilletage a au moins une feuille fermée.

Dans $R^{2n}$ par exemple, si $S$ est de type contact, on sait depuis les travaux de C. Viterbo que la conjecture de Weinstein est vraie, c'est à dire qu'il existe toujours au moins une caracéristique fermée sur $S$. Si $S$ n'est pas de type contact, on sait qu'elle peut ne pas avoir de caractéristique fermée, mais un résultat célèbre de Zehnder et Struwe montre qu'il y en a "presque sûrement" dans le sens suivant: une hypersurface $S={ H=c }$ donnée comme niveau d'un Hamiltonien propre $H$ a la propriété d'existence presque sûre de caractéristique fermée si, pour presque tout niveau $c'$ dans un voisinage de $c$, l'hypersurface $S'={ H=c' }$ porte une caractéristique fermée.

La question initiale se décline alors pour l'existence presque sûre:

Q1: Pour une hypersurface donnée $S$ dans $W$, à quelle condition a-t-elle cette propriété d'existence presque sûre?

Q2: A quelle condition sur $W$ est-ce que toutes les hypersurfaces compactes de $W$ ont cette propriété d'existence presque sûre?

Le but de l'exposé est de présenter des réponses à ces deux questions quand $W=T^*Q$ est un cotangent, et d'expliquer comment l'homologie de Floer "à coefficients locaux enrichis" peut-être utilisée pour cela.

https://fabiogironella.com/seminaire_tga/24_07_04_yuan_yao.txt