La modélisation d'évolution de population, comme la reproduction cellulaire, peut se faire à l'aide des processus de branchement. Dans le cas discret, ils sont connus sous le nom de processus de Bienaymé-Galton-Watson. Ce premier cas a longuement été étudié par les mathématiciens. Nous sommes capables, entre autre, d'étudier sa probabilité d'extinction, son nombre d'individu, son nombre de feuille, le nombre d'individu d'un degré donné... L'une des méthodes permettant l'étude de tels processus est d'associer au processus de B-G-W une marche aléatoire, dite à décroissance unitaire. C'est le codage de Lukasiewich-Harris. Dans cet exposé, on introduira la notion de processus de branchement multi-types discret (i.e. processus à $d\in\N$ types). Autrement dit, lors de la reproduction cellulaire, on autorise l'apparition d'un nombre fini $d$ de mutations. On obtient alors un nouveau type de cellule. Nous définirons le codage de Lukasiewich-Harris pour de tels processus, c'est-à-dire que nous verrons comment coder notre processus à l'aide d'une matrice de marche aléatoire. Nous nous intéresserons ensuite au théorème du ballot, dans ce cas. Suivant le temps dont nous disposerons, nous essaierons de le montrer dans le cas $d=1$.

Toute surface différentielle peut être "habillée" par différentes structures géométriques sympathiques, par exemple une métrique riemannienne à courbure constante pour n'en citer qu'une. L'existence d'une structure de ce type pour toute surface (qui découle d'un résultat profond, le théorème d'uniformisation de Poincaré-Riemann) permet de les étudier à l'aide de la géométrie. Ce point de vue peut sembler anachronique puisque l'on connaît la classification topologique des surfaces sans avoir besoin de structures géométriques, mais cette "géométrisation" est cependant très utile à l'étude des surfaces. Dans cet exposé, je présenterai un exemple simple où l'on utilise la géométrie, non plus pour étudier les surfaces d'un point de vue topologique, mais pour classifier un certain type de systèmes dynamiques sur les surfaces. J'expliquerai ce qu'est un difféomorphisme Anosov, qui consiste à prescrire un comportement infinitésimal hyperbolique, et je me concentrerai sur un exemple particulier et tout à fait accessible : la transformation induite sur le tore T2 par une matrice inversible à coefficients entiers, et sans valeurs propres de module 1. L'objectif de l'exposé sera de comprendre pourquoi (sous deux petites hypothèses que nous préciserons) tout difféomorphisme Anosov sur une surface est en fait équivalent à l'exemple exposé plus haut. Pour faire cela, nous utiliserons une métrique lorentzienne préservée par le difféomorphisme étudié. Cette belle preuve (cas particulier d'un résultat beaucoup plus général) est tirée d'un travail de André Avez.

Dans cet exposé, on s’intéresse à la modélisation du changement de phase liquide-vapeur avec la prise en compte des états métastables contenus dans la loi de van der Waals. Un état métastable correspond à un état gazeux (resp. liquide) qui, après une légère perturbation, passe à l’état liquide (resp. gazeux) brutalement. Dans un premier temps, on présente les propriétés de la loi d’état de van der Waals dans ses représentations isotherme et non-isotherme. Puis on aborde l’étude d’un problème d’optimisation sous contraintes, ce qui nous permet de caractériser les états d’équilibre thermodynamique et le nombre de phases maximale qui peuvent coexister à l’équilibre thermodynamique. Ensuite, on construit des systèmes dynamiques dans le cas isotherme et non isotherme à travers lesquels l'énergie du mélange soit dissipée en temps et dont les équilibres coïncident avec l’équilibre thermodynamique. Ceux sont les états liquide et vapeur stables, métastables et l’état de coexistence. Enfin, on couple les systèmes dynamiques construits précédemment des systèmes hyperboliques diphasiques compressibles isotherme et non-isotherme.

The goal of this talk is to describe new constructions of four-dimensional, compact, negatively curved Einstein manifolds which are not locally homogeneous. Einstein metrics will be constructed on two main families of examples: ramified covers of compact hyperbolic four-manifolds with symmetries on the one hand, and quotients of such hyperbolic manifolds on the other hand. The Einstein metrics are obtained here through a deformation procedure. An approximate solution is obtained by interpolating between a model, black-hole conical Einstein metric and the hyperbolic metric. This is a joint work with J. Fine (ULB).