J'ai travaillé à Berkeley sur des modules croisés de racks avec Alissa Crans (Loyola Marymount University, LA).

La notion de rack généralise celle de groupe en axiomatisant les propriétés de la conjugaison. Un module croisé de racks est la donnée d'un rack R, d'un rack module X et d'un morphisme équivariant f: X -> R. Fenn et Rourke ont défini un rack, appelé le rack fondamental, associé à un entrelacs L \subset Q.

Le complémentaire du fibré normal en disques de la sous-variété L est appelé Q0. Le rack fondamental raffine l'invariant de Whitehead pi2(Q,Q0) -> pi1(Q_0), qui est lui-même un module croisé de groupes. En fait, c'est ce module croisé qui a incité Whitehead à introduire les modules croisés de groupes.

Nous montrons dans notre travail avec Alissa qu'on peut associer un module croisé de racks fondamentaux à une situation où un revêtement est muni d'entrelacs compatibles.

On s'intéresse à un modèle de billard dans le plan introduit par les physiciens Ehrenfest-Ehrenfest (1912) et Hardy-Weber (1980) : dans le plan euclidien sont disposés régulièrement le long du réseau Z^2 des rectangles de taille fixée (a,b). On considère le billard dans le complémentaire de ces rectangles : une particule se déplace en ligne droite en rebondit de manière élastique sur les obstacles (voir le dessin ci-dessous). Lorsqu'on remplace les obstacles rectangulaires par des boules il s'agit du modèle périodique du gaz de Lorenz. Dans ce cas, les trajectoires s'apparente à des marches aléatoires; on a en particulier une vitesse de diffusion en T^(1/2) (penser au théorème central limite). Dans le cas du modèle d'Ehrenfest, les corrélations sont très fortes et nous verrons que la vitesse de diffusion est en T^(2/3). La preuve de ce résultat repose sur la renormalisation des flots de translation par le flot de Teichmueller.

La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction G du cercle unité S^1 dans GL_N, à trouver deux fonctions à valeurs matricielles Y+ et Y- holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle Y+=(Y-)G.

Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur G. Ces déformations sont gouvernées par un système intégrable, que l'on appellera système de Schlesinger universel, qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger classique (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens).

Nous verrons également comment le système de Schlesinger universel décrit des déformations de surfaces minimales du type du disque à bord analytique, et comment il pourrait intervenir dans une résolution plus constructive du problème de Plateau par des systèmes intégrables.

A la fin des années 60, G. Margulis montre dans sa thèse comment la propriété de mélange du flot géodésique sur une variété compacte de courbure négative (pour une mesure - éponyme) entraîne l'existence d'un équivalent du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Dans un travail récent, nous donnons des conditions nécessaires (et faiblement suffisantes, au sens où il existe des contre-exemples si elles ne sont pas satisfaites) pour que l'existence d'un équivalent asymptotique persiste lorsque l'on considère des variétés de volume fini. Nous motiverons ce travail par une discussion préliminaire, de sorte à s'adresser à un public (relativement) large et nous discuterons également de l'asymptotique de la fonction de comptage du groupe.

(Travail en collaboration avec F. Dal'Bo, M. Peigné et A. Sambusetti)

Il existe depuis une quinzaine d'années diverses formules paramétrant les surfaces de R^3 ou R^4 (et quelques autres variétés homogènes) au moyen de quantités «spinorielles», qui vérifient une équation dite de Dirac (travaux de Taimanov, Konopelchenko, Kusner, Schmitt etc.). L'objectif de cet exposé est d'expliquer d'où viennent ces formules et en quoi elles sont reliées à la théorie «classique» des spineurs, notamment aux travaux de Friedrich, Roth et al. sur les spineurs de Killing induits.

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