We prove the existence and the stability of Cantor families of quasi-periodic, small amplitude solutions of quasi-linear autonomous Hamiltonian and reversible perturbations of KdV and mKdV. The results are based on a Nash-Moser and KAM techniques for the reducibility of the linearized operators along the iteration.

Nous nous intéressons à la résolution d’équations de diffusion anisotropes elliptiques ou paraboliques par des méthodes de type Volumes Finis. Les dernières années ont vu se développer de nombreuses méthodes linéaires, c’est à dire consistant à résoudre un système linéaire lorsque le problème est linéaire. Ces méthodes ont toute le défaut de ne pas préserver certaines propriétés fondamentales du problème continu, comme le principe du maximum où la décroissance de certaines entropies d’intérêt. Cela pousse donc à considérer des méthodes non-linéaires. Deux familles de méthodes seront discutées: i) une première, consistant à corriger un schéma donné par des termes non-linéaires ad hoc afin d’imposer des propriétés de monotonie; ii) une seconde, consistant à discrétiser une équation reformulée du problème permettant d’assurer la décroissance au niveau discret d’entropies bien choisie, assurant la positivité de la solution.

Ce travail est le fruit d’une collaboration avec M. Cathala, C. Guichard et Ch. Le Potier.

Une cône-variété est une variété riemannienne dont la métrique présente des singularités de type conique, i.e. est asymptotique à celle du produit d'un cône avec un ouvert de R^n. De tels objets apparaissent naturellement en géométrie hyperbolique, en géométrie complexe, et en physique théorique. Dans cet exposé je présenterai les résultats récents sur l'existence de métriques coniques Einstein, dans le cas Kähler, où le problème est bien compris, et dans le cas réel, où l’on connaît beaucoup moins de choses au-delà de la dimension 3.

For commutative algebras there are three important homology theories, Harrison homology, Andr\'e-Quillen homology and Gamma-homology. In general these differ, unless one works with respect to a ground field of characteristic zero.

I will explain why the analogues of these homology theories agree in the category of pointed commutative monoids in symmetric sequences, aka pointed commutative shuffle algebras and I'll give examples of such algebras.

In addition, there is a natural model category structure on the category of pointed dg commutative shuffle algebras and this is Quillen equivalent to the model category of pointed simplicial commutative shuffle algebras.

Motivé par l'analyse du noyau de Bergman d'un domaine strictement pseudo-convexe, Charles Fefferman a lance vers la fin des années 70 le programme de déterminer tous les invariants biholomorphes locaux d'un domaine strictement pseudo-convexe. Ce programme a depuis évolue pour inclure d'autres géométries paraboliques telle que la géométrie conforme. Les fonctions de Green jouent un rôle important en géométrie conforme a l'interface des EDP et de la géométrie différentielle. Dans cet expose, je vais expliquer comment calculer explicitement les singularités logarithmiques des fonctions de Green des puissances conformes du Laplacien. Ces opérateurs inclus les opérateurs de Yamabe et Paneitz, et plus généralement les opérateurs GJMS de Graham et al, mais aussi les puissances fractionnaires obtenues a partir de la théorie du scattering pour les métriques asymptotiquement hyperboliques. Les résultats sont formules en termes d'invariant conformes définis a partir de la métrique ambiante de Fefferman-Graham. Comme application on obtient une caractérisation spectrale des classes conformes des sphères. Bien que les problèmes et les formules finales n'invoquent qu'analyse et géométrie, les calculs utilisent la théorie des représentations de façon essentielle.

On exposera un résultat de classification des surfaces à courbure de Gauss constante positive dans l'espace euclidien dont la structure conforme extrinsèque est celle d'un domaine circulaire et dont l'application de Gauss est un difféomorphisme sur la sphère privée d'un nombre fini de points. On donnera des applications à l'existence de difféomorphismes harmoniques entre certains domaines de la sphère ainsi qu'à l'espace des solutions d'une équation de type Monge-Ampère sur la sphère. La preuve du résultat principal exploite la solution du problème de Minkowski. On expliquera également comment cette idée permet de prouver l'existence d'une large famille de nouvelles surfaces capillaires contenues dans des polyèdres convexes de l'espace euclidien.

Un inégalité isopérimétrique sur une variété est une minoration du volume du bord de tout domaine en fonction du volume du domaine lui-même. On connait l'inégalité isopérimétrique optimale pour chacune des variétés à courbure constante (sphères, espace euclidien, espaces hyperboliques), et on constate facilement que plus leur courbure est basse, plus l'inégalité isopérimétrique est forte. Il a donc naturellement été conjecturé que, sous des hypothèses raisonnables (simple connexité, ...), toute variété de courbure majorée par k devrait satisfaire à l'inégalité isopérimétrique de la variété modèle à courbure k.

Seuls quelques cas de cette conjecture sont actuellement résolus : dimension 2 (Weil et Aubin notamment), 3 (Kleiner) et 4 pour k=0 (Croke).

Le but de cet exposé est de présenter les idées d'une preuve de la conjecture ci-dessus en dimension 2 et 4 pour k>0, ainsi qu'une réponse partielle pour k<0. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec G. Kuperberg (Université de Californie à Davis).