L'approximation de toit rigide est couramment utilisée en Océanographie, afin de simplifier l'étude d'un système stratifié (typiquement une couche d'eau salée sur une couche d'eau pure). Elle consiste à négliger les déformations de la surface du fluide devant les déformations se produisant à l'interface entre deux couches, et est motivée par la faible différence de densité entre les deux couches de fluide. On testera la validité de cette approximation pour un système de deux fluides non-miscibles, en comparant les prédictions du modèle simplifié de Saint Venant (ou shallow water), dans les deux configurations : toit rigide ou surface libre. Mathématiquement parlant, les mots clé sont : système hyperbolique quasi-linéaire.

On expliquera comment des outils d'analyse 2-microlocale permettent de montrer à la fois des propriétés dispersives (à haute fréquence) et une inégalité d'observabilité, pour l'équation de Schrödinger sur le tore plat (en commun avec Fabricio Macià).

Travail en collaboration avec Thomas Alazard.

À la fin du 19e siècle, lors de l’étude du problème des 3 corps (le système Soleil-Terre-Lune), H. Poincaré fut amené à regarder la dynamique des applications des surfaces qui préservent l’aire au voisinage de leurs points fixes. Ensuite, dans les années 30, Birkhoff commença l’étude des applications twists conservatives de l’anneau 2-dimensionnel qui servent à modéliser la situation envisagée par Poincaré, mais aussi les mouvements d’une boule dans une table de billard convexe ou le mouvement d’un pendule rigide. Après avoir rappelé cela et expliqué précisément ce qu’est un twist conservatif, j’expliquerai certains résultats dûs à divers mathématiciens comme Birkhoff, Kolmogorov-Arnold et Moser, Aubry, Mather, Herman, Le Calvez qui concernent : -la stabilité, et plus précisèment les courbes invariantes ; -l’instabilité, et plus précisément les orbites qui se promènent entre différentes courbes invariantes.