This talk will serve to cover some of the background material for my talk on Friday. We will define symplectic cohomology, wrapped Fukaya category and the closed-open string maps that relates the two.
Nous étudions dans cet exposé un modèle hyperbolique inspiré de la mécanique des fluides pour la modélisation du chimiotactisme, et plus particulièrement de la vasculogénèse. Ce modèle a été proposé par Gamba et Preziosi et reste très peu étudié jusqu'à présent à cause des difficultés analytiques qu'il présente, puisque les solutions développent des zones de vide au cours du temps. Après un bref rappel sur d'autres modèles pour le chimiotactisme, nous présenterons une étude complète des solutions stationnaires du système. Nous décrirons un schéma numérique adapté pour ce système et nous étudierons la propriété "Asymptotic Preserving" de ce schéma dans la limite temps long-forte friction. Enfin, nous présenterons des résultats numériques sur l'évolution en temps des solutions du système, en soulignant les différences de comportement avec le modèle parabolique limite.
We consider the problem of statistical learning when we observe a contaminated sample. We state minimax fast rates of convergence in classification with errors in variables for deconvolution empirical risk minimizers. These rates depend on the ill-posedness, the margin and the complexity of the problem. The cornerstone of the proof is a bias variance decomposition of the excess risk.
After that, we investigate the problem of adaptation to the unknown smoothness. We introduce a new selection rule called ERC (Empirical Risk Comparison), that allows us to obtain adaptive fast rates of convergence in noisy clustering. The method is based on the Lepski's procedure, where empirical risks associated with different bandwidths are compared. This adaptive rule can be used in many statistical problems of M-estimation, where the empirical risk depends on a nuisance parameter.
Les "crochets doubles de Poisson" sur les algèbres sont des versions non-commutatives des crochets de Poisson qui ont été introduites par Van den Bergh. L'intersection de courbes sur une surface à bord définit un crochet double sur l'algèbre de son groupe fondamental, qui raffine le crochet de Goldman ; nous reconstruisons ainsi la structure quasi-Poisson d'Alekseev, Kosmann-Schwarzbach & Meinrenken sur la variété des représentations linéaires de ce groupe. En dimension n>2, et en utilisant les idées de la topologie des cordes de Chas & Sullivan, nous obtenons un crochet double de Gerstenhaber sur l'homologie de l'espace des lacets d'une n-variété à bord. (Travail en collaboration avec Vladimir Turaev.)
En dimension trois, l'homologie de Heegaard Floer d'une variété de contact peut être calculée à partir d'une page et de la monodromie d'un livre ouvert porteur. Dans un travail en commun avec Ko Honda, on étend la définition de l'homologie de Heegaard Floer aux variétés de contact de dimension quelconque. On conjecture que l'homologie de Khovanov d'un entrelacs L dans la sphère de dimension trois s'exprime comme l'homologie de Heegaard Floer d'une variété de contact de dimension cinq associée à L.
On définit une version S^1-équivariante de l'homologie symplectique via diverses approches. On montre que, pour des coefficients rationnels, l'homologie de contact linéarisée est isomorphe à la partie positive de l'homologie symplectique S^1-équivariante. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Alexandru Oancea.
Après avoir défini la notion de produit de contact et montré que les graphes généralisés de contactomorphismes donnent lieu à des sous-variétés legendriennes de celui-ci, nous expliquerons comment définir l'homologie de contact legendrienne dans ce contexte. J'expliquerai le lien entre les générateurs de celle-ci est les points translatés des contactomorphismes (tels qu'étudiés par M. Sandon). Nous expliquerons comment des calculs dans le cas hypertendu permettent d'estimer le nombre de ces points.
