Séminaire d'analyse (archives)

For general initial data without any structural assumption, the Prandtl equations are usually ill-posed in the Sobolev space because the loss of tangential derivatives occurs in a non-local term. We will study the well-posedness property of the Prandtl equations in the critical Gevrey space of index 2. The proof combines a new cancellation mechanism with the abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem, to overcome the difficulty of the loss of derivatives in the system.

We study the Pauli operator in a two-dimensional, connected domain with Neumann or Robin boundary condition. We prove a sharp lower bound on the number of negative eigenvalues reminiscent of the Aharonov-Casher formula. We apply this lower bound to obtain a new formula on the number of eigenvalues of the magnetic Neumann Laplacian in the semi-classical limit. Our approach relies on reduction to a boundary Dirac operator. We analyze this boundary operator in two different ways. The first approach uses Atiyah-Patodi-Singer index theory. The second approach relies on a conservation law for the Benjamin-Ono equation. This is a joint work with S. Fournais, R. L. Frank, M. Goffeng, M. Sundqvist.

Nous prouvons un théorème d'interpolation pour des fonctionnelles nonlinéaires définies sur des échelles d'espaces de Banach qui généralisent les espaces de Besov. La démonstration est auto-contenue et indépendante de tout résultat antérieur concernant la théorie de l'interpolation. Comme corollaire, nous en déduisons un théorème de continuité automatique pour le flot d’une équation quasi-linéaire. Précisément, nous montrons que la continuité de celui-ci découle automatiquement des estimations qui sont habituellement prouvées pour prouver l’existence et l’unicité des solutions.

Je vais présenter un travail en collaboration avec Simon Machado (ETH Zürich) dans lequel nous prouvons une borne supérieure sur la multiplicité des premières valeurs propres du Laplacien sur une surface de courbure négative, en fonction de son genre. Notre méthode, qui repose sur des estimées du noyau de la chaleur et un argument géométrique provenant de la théorie des graphes, permet aussi de prouver une borne supérieure sur le nombre de valeurs propres dans une petite fenêtre spectrale, et cette dernière borne est quasiment optimale. Enfin, cette méthode s'étend aux variétés de dimension plus grande que 2.

La théorie du chaos quantique vise à décrire les états de la mécanique quantique dans un environnement où la dynamique classique est chaotique. L'exemple phare est celui de l'opérateur Laplace-Beltrami sur une variété lisse hyperbolique compacte. Il est montré que la dynamique classique chaotique sous-jacente sur de telles variétés entraîne des propriétés de délocalisation pour la plupart des fonctions propre associées.

Dans cet exposé, nous considérerons un modèle jouet pour cela : nous montrerons comment les états lagrangiens propagés par le semi-groupe induit par un opérateur de Schrödinger aléatoire approprié converge localement vers un stationnaire champ gaussien isotrope monochromatique. Cela nous apportera également des bornes améliorées sur la norme sup des fonctions propres.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec M. Ingremeau.

Le sujet de mon exposé sera les valeurs propres du laplacien magnétique dans un domaine borné du plan, pour un champ magnétique uniforme et des conditions au bord de Neumann. Nous nous intéresserons en particulier à l'inégalité de Faber-Krahn inverse conjecturée par Søren Fournais et Bernard Helffer , selon laquelle parmi tous les domaines simplement connexes d'aire donnée, le disque maximise la première valeur propre. Nous verrons que l'inégalité est vérifiée pour un champ magnétique suffisamment faible (tel que la fonction propre correspondante sur le disque soit radiale). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Bruno Colbois, Luigi Provenzano et Alessandro Savo.