Séminaire d'analyse (archives)

Nom de l'orateur
Ayman Kachmar
Etablissement de l'orateur
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen
Lieu de l'exposé
Salle des séminaires
Date et heure de l'exposé

We study the Pauli operator in a two-dimensional, connected domain with Neumann or Robin boundary condition. We prove a sharp lower bound on the number of negative eigenvalues reminiscent of the Aharonov-Casher formula. We apply this lower bound to obtain a new formula on the number of eigenvalues of the magnetic Neumann Laplacian in the semi-classical limit. Our approach relies on reduction to a boundary Dirac operator. We analyze this boundary operator in two different ways. The first approach uses Atiyah-Patodi-Singer index theory. The second approach relies on a conservation law for the Benjamin-Ono equation. This is a joint work with S. Fournais, R. L. Frank, M. Goffeng, M. Sundqvist.

Nom de l'orateur
Thomas Alazard
Etablissement de l'orateur
ENS Paris-Saclay
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé

Nous prouvons un théorème d'interpolation pour des fonctionnelles nonlinéaires définies sur des échelles d'espaces de Banach qui généralisent les espaces de Besov. La démonstration est auto-contenue et indépendante de tout résultat antérieur concernant la théorie de l'interpolation. Comme corollaire, nous en déduisons un théorème de continuité automatique pour le flot d’une équation quasi-linéaire. Précisément, nous montrons que la continuité de celui-ci découle automatiquement des estimations qui sont habituellement prouvées pour prouver l’existence et l’unicité des solutions.

Nom de l'orateur
Cyril Letrouit
Etablissement de l'orateur
CNRS
Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
Lieu de l'exposé
Salle Hypatia
Date et heure de l'exposé

Je vais présenter un travail en collaboration avec Simon Machado (ETH Zürich) dans lequel nous prouvons une borne supérieure sur la multiplicité des premières valeurs propres du Laplacien sur une surface de courbure négative, en fonction de son genre. Notre méthode, qui repose sur des estimées du noyau de la chaleur et un argument géométrique provenant de la théorie des graphes, permet aussi de prouver une borne supérieure sur le nombre de valeurs propres dans une petite fenêtre spectrale, et cette dernière borne est quasiment optimale. Enfin, cette méthode s'étend aux variétés de dimension plus grande que 2.

Nom de l'orateur
Martin Vogel
Etablissement de l'orateur
CNRS
IRMA (Strasbourg)
Lieu de l'exposé
Salle des séminaires
Date et heure de l'exposé

La théorie du chaos quantique vise à décrire les états de la mécanique quantique dans un environnement où la dynamique classique est chaotique. L'exemple phare est celui de l'opérateur Laplace-Beltrami sur une variété lisse hyperbolique compacte. Il est montré que la dynamique classique chaotique sous-jacente sur de telles variétés entraîne des propriétés de délocalisation pour la plupart des fonctions propre associées.

Nom de l'orateur
Antoine Mouzard
Etablissement de l'orateur
ENS Paris
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé
Il y a 30 ans, Bourgain a utilisé les propriétés dispersives de l'équation de Schrödinger périodique, motivé par un travail de Lebowitz, Rose et Speer sur la mesure invariante associée à l'équation. Cela lui a ensuite permis de construire des solutions globales pour des conditions initiales peu régulières distribuées selon cette mesure invariante. Dans cet exposé, je présenterai un résultat analogue en présence d'un potentiel distribution. En particulier, l'utilisation d'outils d'analyse harmonique permet d'obtenir le caractère bien posé local sur le support de la mesure invariante malgré l'irrégularité du potentiel. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Arnaud Debussche.
Nom de l'orateur
Corentin Lena
Etablissement de l'orateur
Université de Padoue
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé

Le sujet de mon exposé sera les valeurs propres du laplacien magnétique dans un domaine borné du plan, pour un champ magnétique uniforme et des conditions au bord de Neumann. Nous nous intéresserons en particulier à l'inégalité de Faber-Krahn inverse conjecturée par Søren Fournais et Bernard Helffer , selon laquelle parmi tous les domaines simplement connexes d'aire donnée, le disque maximise la première valeur propre. Nous verrons que l'inégalité est vérifiée pour un champ magnétique suffisamment faible (tel que la fonction propre correspondante sur le disque soit radiale). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Bruno Colbois, Luigi Provenzano et Alessandro Savo.

Nom de l'orateur
Seán Gomes
Etablissement de l'orateur
University of Helsinki
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé
Dans cet exposé, nous discutons d'une approche microlocale de Fredholm de la diffusion pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel supporté de manière compacte et une perturbation métrique euclidienne supportée de manière compacte. Nous montrons que l'opérateur de Schrödinger $P=D_t+\Delta_g+V$ est un opérateur de Fredholm (en fait inversible) entre des espaces de Sobolev convenablement définis et pondérés microlocalement et nous exploitons les propriétés de mappage résultantes pour résoudre NLS avec de petites données d'entrée asymptotiques prescrites (le soi-disant ''problème de l'état final''). Cette exposé est basée sur un travail conjoint avec Jesse Gell-Redman et Andrew Hassell.
Nom de l'orateur
Arthur Touati
Etablissement de l'orateur
IHES
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé

In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.

Nom de l'orateur
Ayman Moussa
Etablissement de l'orateur
Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne Université
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé

Nous commencerons par rappeler l'origine du système de réaction-diffusion " SKT " et les défis à ce jour non résolus concernant celui-ci. L'exposé abordera ensuite un schéma d'approxipation proposé en 2019 par Daus, Desvillettes et Dietert pour construire des solutions. Nous expliquerons comment ce schéma peut, à l'aide d'une estimation de stabilité locale sur le système, conduire à un résultat partiel de dérivation reliant le système SKT à une famille de marches aléatoires répulsives sur un réseau discret. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Bansaye et Felipe Muñoz-Hernández.

Nom de l'orateur
Didier Robert
Etablissement de l'orateur
LMJL
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Date et heure de l'exposé
On considère l'équation de Schrödinger dépendant du temps $i\hbar \partial_t\psi = \hat{H} \psi$, $\hat{H}$ étant un opérateur (hamiltonien quantique) dans un espace de Hilbert ${\mathcal H}$.
Pour une particule sans spin $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V$ et ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3)$.
En présence d'un spin $\sf{s}\in{\mathbb N}/2$ l'espace de Hilbert devient ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^{2\sf{s}+1})$ et l'hamiltonien devient matriciel
$$ \hat{H}_{2\sf{s}+1} = ( -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V)\mathbb I_{\mathbb{C}^{2\sf{s}+1}} + \hbar\hat{C}\cdot S.$$