Séminaire d'analyse (archives)

Dans cet exposé, nous considérerons le laplacien magnétique en dimension deux. Nous supposerons que le champ magnétique est strictement positif et constitué de deux puits radiaux symétriques (entre lesquels le champ magnétique est constant). Nous nous intéresserons à l'écart entre les deux premières valeurs propres dans la limite semiclassique. Nous établirons en particulier un équivalent de cet écart.

In this talk we will discuss a natural hierarchical structure that governs a vast teritory within the classical harmonic analysis area: (1) non-zero curvature problems: this usually involves the study of objects that lack (generalized) modulation invariance; promi- nent examples within this class are the “curved” Carleson oper- ator and the linear and bilinear Hilbert transforms along “non- flat” curves. (2) zero-curvature problems: this focuses on objects that, on top of the standard dilation and translation symmetries, also ex- hibit a (generalized) modulation invariance; prominent exam- ples within this class are the classical Carleson operator and the Bilinear Hilbert transform. (3) hybrid problems: this refers to the study of objects that share both zero and non-zero curvature feat

In this talk I will discuss some results about long time behaviors of solutions to Hamiltonian PDEs (Schrödinger, Quantum Harmonic Oscillator and Schrödinger-Poisson). In particular I will focus on a recent result where we (with J. Bernier and B. Grébert) prove exponential stability of small typical solutions of Schrödinger-Poisson equation by the so-called Rational Normal Form. For these resonant Hamiltonian PDEs the linear frequencies are fully resonant and we have to use the nonlinearity to break the resonances, which leads to a kind of new small divisors compared to Birkhoff Normal Form.

Considérons l'équation de Schrödinger avec potentiel confinant V dans l'espace Euclidien. La question de l'observabilité dans un ouvert U en temps T s'exprime ainsi : pour une donnée initiale v(0) de carré intégrable, est-il vrai que la masse laissée par la solution v(t) dans U sur l'intervalle de temps [0, T] est minorée par une fraction fixée (disons 1/10) de la masse de la donnée initiale ? Nous verrons que l'on peut caractériser les ouverts U et les temps T pour lesquels un tel énoncé est vrai (sous réserve d'épaissir un peu l'ensemble d'observation U). La condition d'observabilité que l'on trouve résulte d'une certaine forme de correspondance classique-quantique, que l'on étudie grâce à l'analyse semi-classique.

On présente un nombre de résultats concernant le comportement des spectres des opérateurs pseudodifférentiels associés à des symboles de Hoermander d'ordre strictement positifs elliptiques perturbés par des champs magnétiques réguliers qui ne sont pas supposés nuls a l'infini. Le résultat principal affirme la 'quasi'-Lipschitzianité des bords des lacunes spectrales en rapport avec l'intensité du champ magnétique. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec Horia Cornean et Bernard Helffer en utilisant aussi des méthodes développées en collaboration avec Viorel Iftimie et Marius Mantoiu.

We discuss the zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus given a bell-shaped initial data. We prove that the solutions admit a weak limit as the dispersion parameter tends to zero, which is explicit and constructed from the Burgers' equation. The approach relies on the complete integrability for the Benjamin-Ono equation from Gérard, Kappeler and Topalov, and also on the spectral study of the Lax operator associated to the initial data in the zero-dispersion limit.

In this talk I shall present constructions of Schrödinger operators with complex-valued potentials whose spectra exhibit interesting properties. One example shows that for sufficiently large $p$, the discrete eigenvalues need not be bounded in modulus by the $L^p$ norm of the potential. This is a counterexample to the Laptev-Safronov conjecture (Comm. Math. Phys. 2009). Another construction proves optimality (in some sense) of generalisations of Lieb-Thirring inequalities to the non-selfadjoint case - thus giving us information about the accumulation rate of the discrete eigenvalues to the essential spectrum. This talk is based on joint works with Jean-Claude Cuenin (Loughborough) and Frantisek Stampach (Prague).