Séminaire d'analyse (archives)

Dans cet exposé nous considérons les questions de stabilité et d’instabilité dans le problème inverse de diffusion pour l’équation de Schrödinger et l’équation acoustique en dimension d>=2. En particulier, nous allons présenter des nouvelles estimations de stabilité globale qui dépendent explicitement de la régularité du coefficient et/ou de l’énergie. De plus, en utilisant des idées remontant à Kolmogorov, Tikhomirov et Vitushkin nous montrons l'optimalité des estimations de stabilité de ce type.

Nous considérons la linéarisée de l'application de Dirichlet--Neumann (DN) comme fonction du potentiel en un point donné par un potentiel analytique. Nous montrons qu'elle est injective pour des mesures faites dans un ouvert où le bord est analytique. Plus généralement, nous lions l'analyticité jusqu'au bord des variations infinitésimales du potentiel à celle des symboles des variations correspondantes de l'application DN.

Le but de cet exposé est de donner quelques idées sur la collision de solitons contre un potentiel non linéaire, et pouvoir quantifier le défaut d'élasticité après la collision.

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats obtenus avec Vittoria Pierfelice, concernant l'équation des ondes et l'équation de Klein-Gordon sur les espaces hyperboliques. Comme pour l'équation de Schrödinger, la dispersion en temps grand est meilleure dans le cadre hyperbolique que dans le cadre euclidien. On en déduit des inégalités de Strichartz plus larges et des résultats d'existence plus forts pour les équations semi-linéaires associées. En particulier, le phénomène d'explosion de John, généralisé par Strauss et Sideris, disparaît dans le cadre hyperbolique.

On considère un nombre arbitraire (fini) d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles avec un seul contrôle. En adaptant des arguments de type Lyapunov, on montre la contrôlabilité globale approchée du système considéré. La méthode du retour de J.-M. Coron permet, grâce à la construction d'une trajectoire de référence adéquate, de contrôler ce système de manière exacte au voisinage de portes logiques quantiques. Ces deux résultats, conjointement à un argument de perturbation, conduisent à la contrôlabilité exacte globale du système considéré pour un potentiel arbitraire. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec V. Nersesyan (UVSQ).

Dans cet exposé je présenterai un modèle de type Hartree pour un gaz comprenant une infinité de particules quantiques, et je discuterai du phénomène de dispersion dans ce système infini. Les outils principaux sont 1) une nouvelle inégalité de Strichartz pour des familles de fonctions orthonormées et 2) la conservation de l'énergie (libre) relative. Travaux en collaboration avec Rupert Frank (Caltech), Elliott H. Lieb (Princeton), Julien Sabin (Cergy) et Robert Seiringer (Vienne).