Travail en collaboration avec Thomas Alazard.
L'approximation de toit rigide est couramment utilisée en Océanographie, afin de simplifier l'étude d'un système stratifié (typiquement une couche d'eau salée sur une couche d'eau pure). Elle consiste à négliger les déformations de la surface du fluide devant les déformations se produisant à l'interface entre deux couches, et est motivée par la faible différence de densité entre les deux couches de fluide. On testera la validité de cette approximation pour un système de deux fluides non-miscibles, en comparant les prédictions du modèle simplifié de Saint Venant (ou shallow water), dans les deux configurations : toit rigide ou surface libre. Mathématiquement parlant, les mots clé sont : système hyperbolique quasi-linéaire.
Durant ce séminaire, nous commencerons par rappeler les objets principaux de la théorie de la diffusion. Nous montrerons ensuite comment obtenir de nouvelles formules pour les opérateurs d’onde dans le cadre de la diffusion par un potentiel dans R^3. Suite à cela, nous illustrerons notre propos à travers d’autres exemples et mettrons en évidence l’utilité de ces formules pour obtenir des théorèmes d’indice. Ce travail s’inscrit dans un programme de recherche d’invariants topologiques en théorie de la diffusion.
On s'intéresse à l'équation de Schrödinger posée sur un domaine satisfaisant certaines hypothèses géométriques (typiquement, complèmentaire d'un convexe borné) avec données au bord Dirichlet non nulles. On décrira en particulier la régularité "naturelle" des données au bord, une propriété d'effet régularisant local, et les conditions de compatibilité entre données initiales et au bord.
Burago et Ivanov on démontré il a a une quinzaine d'année la conjecture de Hopf suivante: une métrique du tore sans point conjugués est plate. Se pose alors la question pour les hamiltoniens de Tonelli, qui sont des généralisations des métriques riemanniennes. On verra qu'alors l'espace des phases est feuilleté en tores Lipschitz lagrangiens invariants par le flot hamiltonien, et que la dynamique est d'entropie topologique nulle.
Les propriétés diophantiennes d'un vecteur interviennent classiquement dans l'étude des perturbations de systèmes quasi-périodiques sous la forme de "petits diviseurs". Dans la première partie de cet exposé, nous expliquerons un résultat de dualité en approximation diophantienne qui permet de quantifier ces propriétés à l'aide de "grandes périodes" d'approximations périodiques. Dans une seconde partie, nous utiliserons cette dualité pour développer une méthode d'approximations périodiques et prouver des résultats de type KAM et Nekhoroshev dans le cadre des perturbations des champs de vecteurs constants sur le tore. Il s'agit d'un travail avec Stéphane Fischler (Université Paris Sud).
