Séminaire d'analyse (archives)

Burago et Ivanov on démontré il a a une quinzaine d'année la conjecture de Hopf suivante: une métrique du tore sans point conjugués est plate. Se pose alors la question pour les hamiltoniens de Tonelli, qui sont des généralisations des métriques riemanniennes. On verra qu'alors l'espace des phases est feuilleté en tores Lipschitz lagrangiens invariants par le flot hamiltonien, et que la dynamique est d'entropie topologique nulle.

Les propriétés diophantiennes d'un vecteur interviennent classiquement dans l'étude des perturbations de systèmes quasi-périodiques sous la forme de "petits diviseurs". Dans la première partie de cet exposé, nous expliquerons un résultat de dualité en approximation diophantienne qui permet de quantifier ces propriétés à l'aide de "grandes périodes" d'approximations périodiques. Dans une seconde partie, nous utiliserons cette dualité pour développer une méthode d'approximations périodiques et prouver des résultats de type KAM et Nekhoroshev dans le cadre des perturbations des champs de vecteurs constants sur le tore. Il s'agit d'un travail avec Stéphane Fischler (Université Paris Sud).

Je présenterai un travail en cours avec Laurent Stolovitch, portant sur les champs de vecteurs quasi-périodiques dont le vecteur des fréquences comporte une résonance, c'est-à-dire que les fréquences sont rationnellement liées. Nous verrons un théorème de presque réductibilité à une forme normale dite "résonante" pour les champs de vecteurs proches d'une constante.

Some twenty years ago Berenger introduced the remarkable method of perfectly matched layers for truncating to a rectangle, the computation of solutions of Maxwell's equations in 1+2 and 1+3 dimensional space time. Only recently have some of the fundamental questions concerning this method been resolved. For example the stability of the original method and its perfection. We discuss the analysis of this and related methods that are constructed to perform better in variable coefficient settings where the perfection of Berenger no longer holds. Research done with Laurence Haplern, Sabrina Petit, and Ludovic Métivier.