La dynamique linéaire s’intéresse à l’évolution à long terme des itérations d’un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet. Malgré la simplicité apparente du cadre linéaire, ce type de systèmes peut présenter des comportements très riches, voire inattendus. Un résultat important en ce sens est le critère de Godefroy–Shapiro, qui relie l’abondance de vecteurs propres à l’existence d’orbites denses. Dans cet exposé, je me concentrerai sur les opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Hardy et expliquerai comment leur comportement dynamique est rélié à des propriétés géométriques de leur symbole.

Cet exposé présente mes travaux récents sur l'équation de Benjamin–Ono. Ces travaux reposent sur l'extension et l'utilisation de formules explicites pour étudier la limite de zéro dispersion et établir un nouveau schéma numérique.

Premièrement, je présenterai les résultats sur l'extension de la formule explicite et son application à la limite de zéro dispersion. Nous avons étendu la formule explicite pour l'équation de Benjamin–Ono sur la droite aux données initiales à valeurs réelles et de carré intégrable. Cette avancée nous a permis d'étudier rigoureusement la limite de zéro dispersion pour des données initiales plus singulières.

Deuxièmement, je montrerai comment la formule explicite permet de développer un nouveau schéma numérique pour l'équation de Benjamin–Ono sur le cercle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Yvonne Alama Bronsard et Matthieu Dolbeault. Un point central de ce travail est que nous avons démontré rigoureusement la convergence de ce schéma. Ce schéma, exact en temps et spectral en espace, permet d'étudier efficacement la dynamique en temps long.

Dans cet exposé, on s’intéresse à une stratégie numérique pour reproduire le comportement d’un globule rouge se mouvant dans un milieu fluide et soumis à un stimulus électrique. Pour cela, on s’appuie sur un modèle mécanique dans lequel la cellule est décrite comme une fine membrane élastique séparant le contenu liquide de la cellule de la matrice extérieure. Le défi numérique de ce système est surtout représenté par des conditions de transmission imposées à travers une interface évolutive dans le temps, ainsi que par la manipulation de champs avec des discontinuités à l’interface. La stratégie qu’on propose est basée sur la génération de maillages qui suivent le profil de l’interface, réalisés en découpant un maillage en arrière-plan. L’adoption de maillages adaptés permet de traiter simplement les conditions d’interface, mais l’algorithme de découpage engendre des éléments finis qui ne sont pas des simplexes. Pour faire face à cela, on propose des schémas supportant des maillages génériques.

En particulier, on adopte une méthode de type Hybrid High Order pour résoudre un problème de Stokes avec des conditions de transmission à l’interface, et on introduit un nouveau schéma de type Discrete De Rham pour résoudre le problème elliptique avec interface associé à la variable électrique. Pour ce dernier, on présente un résultat de stabilité ainsi qu’une estimation d’erreur a priori.

In this talk, I will present a new result about small-time local controllability near the ground state for a bilinear Schrödinger equation with Neumann boundary conditions, for which the linearized system is not controllable. I will prove that a Lie bracket–type condition ensures that either the nonlinear system exhibits a quadratic obstruction or, remarkably, recovers controllability at the quadratic order. This is a joint work with Karine Beauchard and Frédéric Marbach.