Les coefficients dans le développement en série entière de 1/(1-t)^n correspondent aux dimensions des espaces de polynômes homogènes en n variables. Ce phénomène combinatoire reflète la dualité de Koszul entre l'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) engendrées par un espace vectoriel V de dimension n.
Cette dualité, est à la base d'un complexe appelé résolution de Koszul par Priddy à la fin des années 60'. Le cas de l'algèbre symétrique permet de calculer la résolution de Koszul de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie, correspondant alors au complexe de Chevalley-Eilenberg.
On peut faire remonter un problème classique - et complètement ouvert - de physique mathématique a Fourier : il s’agit de la dérivation rigoureuse de l’équation de la chaleur dans les solides. Le modèle le plus simple a considérer est une chaîne d’oscillateurs : il s’agit de particules alignées qui interagissent chacune avec leurs voisines (les exemples les plus connus étant les équations de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) et Toda). Pour dériver une équation de type chaleur (diffusion) on prend des limites singulières, dites cinétique et hydrodynamique. J’essaierai de donner une vision d’ensemble du sujet !
