Lorsque l'on est face à une équation sur les entiers, une stratégie élémentaire est de la considérer modulo des nombres premiers bien choisis. Par exemple, l'équation $x^2 + 5y = 2$ n'admet pas de solutions entières, puisque 2 n'est pas un carré modulo 5. Plus généralement, on peut espérer qu'étant donné un objet "arithmétique" X, on puisse lire un certains nombre de ses propriétés sur ses incarnations modulo chaque nombre premier. Une manière de regrouper ces informations "locales" est de considérer la "fonction L" de X. Un des premiers exemples de telles fonctions est la fonction zêta de Riemann, et nous nous attarderons en profondeur sur ses propriétés. Nous verrons ensuite que la fonction zêta de Riemann est un exemple de fonction zêta de Dedekind, qui sont des fonctions L dont les objets "arithmétiques" associés sont les corps de nombres (les extensions finies de $\mathbb Q$). Nous verrons comment ces fonctions zêta permettent de retrouver des invariants importants des corps de nombres, notamment à travers la formule du nombre de classes. Si le temps le permet, nous verrons comment, par analogie avec la formule du nombre de classes, on peut appréhender la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer sur les fonctions L des courbes elliptiques (une des conjecture du millénaire).

La réduction d'ordre des modèles (ROM) est une méthode avec pour objectif d'approcher la solution d'un problème d'évolution en haute dimension. En effet, la résolution numérique de tels problèmes peut être extrêmement coûteuse et construire un modèle de substitution en (bien) plus faible dimension aide à raisonnablement approcher la solution.

Pour des problèmes d'évolution, des techniques reposent sur la construction d'un espace réduit unique sur l'intervalle de temps. La Proper Orthogonal Decomposition (POD) propose de composer l'espace réduit de solutions du problème haute-dimension sur les premiers instants de l'intervalle. Cela dit, cette méthode occulte les instants non choisis et cela peut entraîner des défauts de performance si des informations clés ne sont pas prises en compte.

Je vais présenter la méthode proposée par une de mes encadrantes, Kathrin Smetana, et ses co-auteurs, afin de répondre à cette limite. Elle suggère de reprendre le principe fondamental de la POD mais de plutôt considérer plusieurs sous-intervalles indépendants, sélectionnés avec une densité de probabilité qui privilégie les instants portant le plus d'informations. En considérant un opérateur de transfert construit comme étant linéaire, nous pouvons ainsi utiliser des résultats de l'algèbre linéaire aléatoire dans la construction de l'espace réduit.

La décomposition en paquets d’ondes d’un opérateur est une méthode introduite dans les travaux de Carleson et Fefferman autour de la convergence ponctuelle des séries de Fourier, puis reprise plus tard par Lacey et Thiele dans le cadre de la transformée bilinéaire de Hilbert. Une particularité de ces opérateurs est leur invariance par modulation qui nous pousse à les étudier simultanément en espace et en fréquence, c’est donc là qu’intervient la décomposition en paquets d’ondes. A travers l’exemple de la transformée bilinéaire de Hilbert nous verrons les idées principales de cette méthode. Pour ce faire, nous aborderons les notions d’intervalles dyadiques, recouvrements dyadiques, et plus précisément recouvrement de Whitney et finalement de paquets d’ondes. Enfin nous verrons comment les spécificités de la transformée bilinéaire de Hilbert influent sur cette décomposition.