Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Au cours de cet exposé, je vais introduire la question suivante et discuter des différentes approches possibles permettant d'y répondre:

Problème d'algébricité sur Q: (Parusi\'nski, 2021) Tout ensemble algébrique de $R^n$ est-il homéomorphe à un ensemble Q-algébrique de $R^m$ avec $m \geq n$?

Je vais donner une réponse positive dans le cas des ensembles algébriques réels nonsinguliers et compacts, en démontrant une version sur Q du célèbre théorème de Nash-Tognoli. Si le temps le permet, je discuterai également comment une version relative de ce théorème permet aussi d'aborder le problème d'algébricité sur Q dans le cas singulier, en donnant une réponse positive dans le cas à singularités isolées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.

Au cours de ces dernières années, la topologie de contact C⁰ a reçu une quantité croissante d'attention avec en ligne de mire les analogues d'un théorème de Laudenbach-Sikorav (étendu par la suite par Opshtein, Opshtein-Buhovsky et Leclercq-Humilière-Seyfaddini) obtenu dans le cadre symplectique. Récemment, Dimitroglou-Rizell et Sullivan ont réussi à démontrer que les sous-variétés legendriennes fermées satisfont une forme de rigidité C⁰. Nous entamons l'étude de la topologie de contact C⁰ pour les sous-variétés de dimension supérieure. En effet, nous étudions l'action des homéomorphismes de contact sur les hypersurfaces des 3-variétés de contact. Nous démontrons que le type d'homéomorphisme du feuilletage (singulier) caractéristique est rigide au contraire de son type de difféomorphisme. Nous construirons également un nœud "sauvage" pour le topologie de contact C⁰.

Il s'agit d'un travail en collaboration en partie avec Maksim Stokić.

Le Patchwork combinatoire de Viro est une puissante méthode de construction d'hypersurfaces algébriques réelles avec un contrôle sur la topologie. Les ingrédients de base de cette méthode sont une triangulation à sommets entiers d'un polytope à sommets entiers, et un signe positif ou négatif fixé sur chaque sommet de la triangulation. Dans le cas d'une triangulation primitive des bornes sur les nombres de Betti de l'hypersurface ont été établies (d'abord par Renaudineau et Shaw, puis dans un cadre plus général par Brugallé, Rau, Lopez de Medrano). Ces bornes ne dépendent que de la triangulation. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation non-primitive de ces bornes, et nous expliquerons pourquoi la non-primitivité fait apparaître dans ces bornes des termes dépendant des signes fixés sur les sommets de la triangulation.

En 1876, Axel Harnack démontre dans un article fondateur

1. que toute courbe algébrique réelle de degré d dans RP^2 a au plus (d-1)(d-2)/2 + 1 composantes connexes.

2. qu'il existe pour tout d une courbe de degré d avec ce nombre de composantes connexes.

Ces résultats sont à la base de moult travaux en topologie des variétés algébriques réelle ces 150 dernières années. La première partie du théorème de Harnack se généralise en l'inégalité dite de Klein-Floyd (aussi appelée Smith-Thom, ou Smith-Floyd, ou encore Smith-Thom-Milnor) pour les variétés algébriques réelles quelconques: la somme des nombres de Betti de la partie réelle est au plus la somme correspondante pour la partie complexe. Malgré de spectaculaires avancées, la généralisation de la deuxième partie du théorème de Harnack reste toujours ouverte dans le cas des hypersurfaces projectives. Pour ces dernières, Itenberg et Viro ont néanmoins montré que l'inégalité de Klein-Floyd est asymptotiquement optimale en utilisant la technique du patchwork combinatoire. Dans un travail en commun avec Michele Ancona et Jean-Yves Welschinger, nous montrons qu'une généralisation élémentaire de la méthode de construction originelle de Harnack en dimension 2 permet d'obtenir cette optimalité asymptotique pour tout fibré en droites ample sur une variété algébrique réelle et les intersections complètes correspondantes. Au-delà des nombres de Betti, nous décrivons aussi le type de difféomorphisme d'un ouvert de ces variétés à la topologie riche.

En 2006, Ono a prouvé la "Conjecture de flux C¹", en toute généralité : pour toute variété symplectique, le groupe des difféomorphismes hamiltoniens est fermé dans celui des symplectomorphismes en topologie C¹. Dans cet exposé, je vais rappeler le contexte de ce résultat profond et expliquer que (comme souvent) la situation est plus subtile quand on s'intéresse aux questions analogues dans le cadre de l'étude des sous-variétés lagrangiennes. D'un côté, je vais décrire une situation relativement générale dans laquelle l'équivalent du théorème de Ono n'est pas satisfait, de l'autre, je vais discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il le soit. La seconde partie est basée sur une nouvelle variante lagrangienne du morphisme de flux symplectique.

Pendant ma thèse j'ai construit l'espace des modules d'une certaine classe de connexions méromorphes et j'ai étudié le feuilletage isomonodromique induit par la fibration de Riemann-Hilbert. L'espace des modules en question est modelé sur un fibré en droites qui a pour base l'espace des modules des courbes rationnelles irrégulières. Après avoir donné quelques définitions, on étudiera l'espace des modules des courbes, sa compactification à la Deligne-Mumford, et son lien avec les connexions méromorphes en question.

It remains an open question whether nontrivial linear dependences exist among Seifert fibered spheres in the homology cobordism group. In this talk, we consider an infinite family of homology spheres that form the trivial local equivalence class in involutive Heegaard Floer theory, thereby potentially yielding nontrivial dependences between Seifert fibered spheres in the homology cobordism group. We then focus on a survey of filtered instanton Floer theory. Finally, as an application, we prove that these candidates are linearly independent. In particular, we compare the invariants from the two theories: involutive Heegaard Floer theory and filtered instanton Floer theory. If time permits, we also compare them with Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer theory. This is joint work with Jaewon Lee (KAIST, Korea).

Le patchwork combinatoire est une puissante méthode utilisée pour construire des hypersurfaces algébriques réelles avec du contrôle sur sa topologie. Dans cet exposé, je discuterai d'une généralisation de cette méthode en codimension supérieure grâce à la notion de structure de phase réelle. En codimension 2, on donne une nouvelle description explicite (basée sur des triangulations, distributions de signes et orientations d'arêtes) des T-variétés (les variétés obtenues par patchwork) proche de la description originale de Viro pour les hypersurfaces. Cette méthode permet d'obtenir une famille de T-courbes maximales dans l'espace projectif de dimension 3. En grande codimension, on présente de nouvelles bornes sur le nombre de composantes connexes qui montrent qu'on ne peut pas obtenir de T-courbes ou T-surfaces maximales

Symplectic fillings of lens spaces were classified by McDuff and Lisca in the early 2000s. A special class of these fillings arise as fillings of lens spaces L(p^2,pq-1), which admit symplectic fillings with vanishing second Betti numbers. In particular, they are symplectic models for rational homology balls B_{p,q}. We study symplectic embeddings of these models into CP2. We show that such embeddings exist if and only if p is a "Markov number" by "elementary" methods. This is joint work with N. Adaloglou, J. Brendel, J. Evans, and F. Schlenk.