Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Un objet d'étude fondamental en algèbre homologique et homotopique est l'adjonction bar-cobar entre algèbres et cogèbres, reflet algébrique des espaces classifiants et espaces de lacets en topologie depuis les travaux d'Adams, Stasheff et May notamment. Cette dualité a été regroupée avec d'autres variantes sous l’appellation "dualité de Koszul" et généralisée dans un cadre opéradique. La dualité de Koszul joue un rôle fondamental en topologie, que ce soit dans la construction d’invariants, de résolutions, ou l’étude infinitésimale des problèmes de déformations.

Une approche récente due à Lurie implémente une forme de dualité de Koszul adaptée à un cadre purement infini-catégorique et généralisée par Ayala-Francis aux En-algèbres (algèbres sur les opérades des petits disques). Ce cadre a ouvert la voie à de nombreuses applications, parmi elles le développement de l'homologie de factorisation qui permet d'intégrer des En-algèbres sur des variétés pour produire de puissants invariants topologiques. Ces outils sont également devenus incontournables en géométrie algébrique dérivée où de nombreux espaces de modules (typiquement des espaces de modules de fibrés, des variétés de caractères ou des intersections lagrangiennes) possèdent des structures symplectiques et de Poisson décalées paramétrées par ce type d’algèbres.

Ces deux formes de dualité de Koszul sont pourtant incompatibles à première vue : l’une impose la conilpotence et l’autre non, les foncteurs ne sont pas adjoints dans le même sens, les catégories de cogèbres considérées ne sont pas homotopiquement équivalentes. Quels liens y a-t-il alors entre les constructions classiques de la topologie algébrique et les constructions infini-opéradiques ci-dessus ? A-t-on des modèles explicites "point-set" de la dualité d’Ayala-Francis-Lurie ? On apporte ici des réponses précises à ces questions, dans un travail en commun avec Dan Petersen et Victor Roca i Lucio. Cela ouvre la voie à des applications dans les domaines susmentionnés. Si le temps le permet, j'évoquerai quelques perspectives autour de la quantification en géométrie de Poisson dérivée.

Le célèbre théorème de localisation en cohomologie équivariante nous dit qu’on peut récupérer la cohomologie de l’ensemble des points fixes de l’action d’un tore sur une variété fermée en regardant la structure de H*(BT)-module des groupes de cohomologie équivariante. Le but de cet exposé est d’expliquer un résultat analogue en cohomologie de Floer Lagrangienne et donner des applications.

Introduite par Haiden, Katsarkov et Kontsevich, la catégorie de Fukaya topologique d'une surface marquée graduée est un analogue élémentaire de la catégorie de Fukaya partiellement enroulée. Les algèbres aimables apparaissent naturellement dans ce contexte comme anneaux d'endomorphismes de générateurs formels. Des travaux d'Opper, Plamondon et Schroll ont montré que la surface sert également de modèle géométrique pour la catégorie dérivée de l'algèbre aimable. Cela a conduit au développement de nouveaux outils pour l'étude de sa théorie des représentations, notamment par l'établissement d'un invariant dérivé complet.

Dans cet exposé, je présenterai la classe des algèbres aimables contractées et expliquerai comment celles-ci apparaissent comme anneau d'endomorphismes de générateurs formels de quotient $A_{\infty}$ de catégories de Fukaya topologiques. Je montrerai ensuite comment les surfaces marquées graduées avec singularités coniques servent de modèles géométriques pour leurs catégories dérivées, en classifiant les objets indécomposables en termes de courbes graduées.

The study of complex structures on Lie groups provides a natural bridge between algebra, geometry, and complex analysis. In this talk, we focus on Lie algebras endowed with left-invariant complex structures, and on how these structures behave under degenerations and deformations.

A central question is how to understand the possible “limits” of such structures and which features remain stable under these processes. To address this, we introduce certain invariants that are well adapted to degenerations while preserving the complex structure.

We illustrate these ideas in the four-dimensional case, where a more concrete picture can be obtained.

Un des premiers problèmes de Géométrie Énumérative étudiés fut le comptage de droites dans hypersurfaces génériques. Par example, on sait qu’une surface cubique générique dans l'espace projectif tridimensionnel contient 27 droites sur le corps des nombres complexes. Dans cet exposé, on se propose d’étudier ce problème sur d'autres corps. La première question à examiner dans ce cas est « comment obtenir des réponses indépendantes de l’hypersurface? ». Sur les nombres réels, chaque droite doit être comptée avec un signe +1 ou -1. En général, les signes deviennent des formes quadratiques. La deuxième question apparaît naturellement: quelle est l’interprétation géométrique de ces formes quadratiques? On explique comment répondre à cette question pour presque tous les corps en généralisant des idées de Finashin et Khalarmov sur les nombres réels. Ce travail est en collaboration avec Sabrina Pauli et Stephen McKean.

Étant donnée une fonction de Morse sur une variété lisse M, il est possible d'avoir une description combinatoire de son groupe fondamental. On appelle cette construction le groupe fondamental de Morse. Motivé par une construction similaire d'un "groupe fondamental de Floer" par Jean-François Barraud pour les variétés symplectiques, et de l'importance des "morphismes de continuation" dans ce domaine, j'expliquerai dans cet exposé la construction de morphismes de continuation pour le groupe fondamental, comment ils diffèrent de leurs analogues homologiques, et comment ces morphismes peuvent nous donner des propriétés de fonctorialité et d'invariance.

Au cours de cet exposé, je vais introduire la question suivante et discuter des différentes approches possibles permettant d'y répondre:

Problème d'algébricité sur Q: (Parusi\'nski, 2021) Tout ensemble algébrique de $R^n$ est-il homéomorphe à un ensemble Q-algébrique de $R^m$ avec $m \geq n$?

Je vais donner une réponse positive dans le cas des ensembles algébriques réels nonsinguliers et compacts, en démontrant une version sur Q du célèbre théorème de Nash-Tognoli. Si le temps le permet, je discuterai également comment une version relative de ce théorème permet aussi d'aborder le problème d'algébricité sur Q dans le cas singulier, en donnant une réponse positive dans le cas à singularités isolées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.

Au cours de ces dernières années, la topologie de contact C⁰ a reçu une quantité croissante d'attention avec en ligne de mire les analogues d'un théorème de Laudenbach-Sikorav (étendu par la suite par Opshtein, Opshtein-Buhovsky et Leclercq-Humilière-Seyfaddini) obtenu dans le cadre symplectique. Récemment, Dimitroglou-Rizell et Sullivan ont réussi à démontrer que les sous-variétés legendriennes fermées satisfont une forme de rigidité C⁰. Nous entamons l'étude de la topologie de contact C⁰ pour les sous-variétés de dimension supérieure. En effet, nous étudions l'action des homéomorphismes de contact sur les hypersurfaces des 3-variétés de contact. Nous démontrons que le type d'homéomorphisme du feuilletage (singulier) caractéristique est rigide au contraire de son type de difféomorphisme. Nous construirons également un nœud "sauvage" pour le topologie de contact C⁰.

Il s'agit d'un travail en collaboration en partie avec Maksim Stokić.

Le Patchwork combinatoire de Viro est une puissante méthode de construction d'hypersurfaces algébriques réelles avec un contrôle sur la topologie. Les ingrédients de base de cette méthode sont une triangulation à sommets entiers d'un polytope à sommets entiers, et un signe positif ou négatif fixé sur chaque sommet de la triangulation. Dans le cas d'une triangulation primitive des bornes sur les nombres de Betti de l'hypersurface ont été établies (d'abord par Renaudineau et Shaw, puis dans un cadre plus général par Brugallé, Rau, Lopez de Medrano). Ces bornes ne dépendent que de la triangulation. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation non-primitive de ces bornes, et nous expliquerons pourquoi la non-primitivité fait apparaître dans ces bornes des termes dépendant des signes fixés sur les sommets de la triangulation.

En 1876, Axel Harnack démontre dans un article fondateur

1. que toute courbe algébrique réelle de degré d dans RP^2 a au plus (d-1)(d-2)/2 + 1 composantes connexes.

2. qu'il existe pour tout d une courbe de degré d avec ce nombre de composantes connexes.

Ces résultats sont à la base de moult travaux en topologie des variétés algébriques réelle ces 150 dernières années. La première partie du théorème de Harnack se généralise en l'inégalité dite de Klein-Floyd (aussi appelée Smith-Thom, ou Smith-Floyd, ou encore Smith-Thom-Milnor) pour les variétés algébriques réelles quelconques: la somme des nombres de Betti de la partie réelle est au plus la somme correspondante pour la partie complexe. Malgré de spectaculaires avancées, la généralisation de la deuxième partie du théorème de Harnack reste toujours ouverte dans le cas des hypersurfaces projectives. Pour ces dernières, Itenberg et Viro ont néanmoins montré que l'inégalité de Klein-Floyd est asymptotiquement optimale en utilisant la technique du patchwork combinatoire. Dans un travail en commun avec Michele Ancona et Jean-Yves Welschinger, nous montrons qu'une généralisation élémentaire de la méthode de construction originelle de Harnack en dimension 2 permet d'obtenir cette optimalité asymptotique pour tout fibré en droites ample sur une variété algébrique réelle et les intersections complètes correspondantes. Au-delà des nombres de Betti, nous décrivons aussi le type de difféomorphisme d'un ouvert de ces variétés à la topologie riche.