Master 2 MFA

Les métriques extrémales de Calabi sont une généralisation en plus grande dimension des métriques à courbure constante sur les courbes complexes. Toute courbe complexe compacte lisse sans bord admet une unique métrique `à courbure constante de volume fixé. Plus généralement, l’existence des métriques extrémales n’est pas toujours assurée. Il existe des obstructions subtiles liée à la notion de stabilité au sens de la théorie de l’invariant géométrique. Dans ce mémoire, nous examinerons différents types d’obstructions possibles : la K-stabilité, la Chow-stabilité asymptotique et la “slope stability”, en particulier dans le cas des surfaces réglées. Ce mémoire pourra déboucher sur une thèse concernant les questions d’existence de métriques extrémales. Prérequis : géométrie différentielle et géométrie algébrique élémentaires.

Les résultats théoriques d'apprentissage statistique sont basés sur la théorie des processus empiriques et des inégalités de concentration de la mesure (type Talagrand). Récemment, on s'intéresse à étendre ces résultats à des problèmes inverses, où l'on dispose d'échantillons bruitées (errors-in-variables model). Le sujet de ce mémoire est le suivant : (1) l'étude des vitesses de convergence en statistique non-paramétrique grâce à des procédures de régularisations de problèmes inverses (type Tikhonov, spectral cut-off, noyau de déconvolution), (2) l'application de ces résultats à la construction de nouveaux algorithmes d'apprentissage statistique en présence de données bruitées. Ce sujet pourra éventuellement déboucher sur une thèse, portant sur le point (2).