In this work we focus on explicit finite volume schemes for systems of conservations laws in two dimensions with stiff source terms. Such systems may degenerate into diffusion equations. It is a major numerical challenge to follow this degeneracy. We propose a general framework to design an asymptotic preserving scheme, that is stable and consistent under a classical hyperbolic CFL condition in both hyperbolic and diffusive regime, for any two-dimensional unstructured mesh. Moreover, the scheme developed also preserves the set of admissible states, which is mandatory to keep physical solutions in stiff configurations. This construction is achieved by using a non-linear scheme as a target scheme for the diffusive equation, which gives the form of the global scheme for the complete system of conservation laws. Numerical results are provided to validate the scheme in both regimes.

On considère un opérateur auto-adjoint $H0$ dont le spectre est absolument continu, et l’opérateur perturbé H défini par $H = H0 + V$ où $V$ est l’opérateur de multiplication par la fonction à valeurs complexes $V$. Par exemple, l’opérateur de Schrödinger : $H = −∆ + V$. Sous l’hypothèse que $V ∈ L^p(R^d; C)$, nous savons que $V$ est une perturbation relativement compacte de $H0$, donc $σ{ess}(H) = σ{ess—(H0)$ et les points d’accumulation d’une suite de valeurs propres de $H$ appartiennent à $σ{ess}(H0)$.

Comme $V$ est à valeurs complexes, $H$ n’est a priori pas auto-adjoint, donc l’ensemble $σd(H)$ des valeurs propres de $H$ est inclus dans $C \ σ{ess}(H0)$. Dans cet exposé, je vais donner des informations quantitatives sur le comportement des valeurs propres au voisinage de $σ{ess}(H0)$ sous forme d’inégalité de type Lieb-Thirring. En particulier, nous nous intéresserons à l’opérateur de Dirac $Dm = −i \sumk \alphak \partial{xk} +m \beta$ et au Laplacien fractionnaire $H_0 =(−∆)^s$ avec s>0. Pour obtenir nos résultats, nous utilisons principalement un résultat de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe. Si nous avons le temps, je présenterai une autre méthode basée sur un résultat d’analyse fonctionnelle.

Dans cet exposé, on met en relief les relations entre entropie, entropie relative, dissipation d'energie et retour (qualitatif, quantitatif) vers l'équilibre pour quelques équations cinétiques linéaires ou non linéaires, homogènes et non homogènes (si le temps le permet).

Les EDP non linéaires de type hyperbolique admettent naturellement des solutions qui, quelle que soit la régularité de la donnée initiale, peuvent devenir discontinues en temps fini. La question se pose alors de la définition des solutions au-delà de ce temps. Pour cela, on fait naturellement appel à la notion de solution faible. On verra que celle-ci ne garantit pas l'unicité et qu'un mécanisme de sélection est à ajouter. Une des méthodes consiste à se baser sur l'utilisation de l'entropie et à imposer sa décroissance. On verra comment en déduire la stabilité et l'unicité des solutions, dites faibles et entropiques, mais aussi quelques limites (actuelles ?) de cette approche.

On s’intéressera à la théorie spectrale des opérateurs non-autoadjoints et notamment au lien avec les semi-groupes. On verra que le spectre n'est pas la bonne notion pour étudier de tels opérateurs et on introduira la notion de pseudo-spectre.

L'invariant d'Alexander L2 est un invariant de nœuds introduit par Li et Zhang en 2006, que l'on peut voir comme une certaine torsion L2 sur un complexe de chaînes L2 associé à l'extérieur du nœud. Il peut aussi être construit depuis une présentation du groupe du nœud, à l'aide du calcul de Fox, similairement au polynôme d'Alexander. Dans mon exposé je présenterai cette construction après quelques rappels sur les invariants de nœuds et la théorie des invariants L2, puis je présenterai plusieurs propriétés de l'invariant d'Alexander L2, notamment le fait qu'il détecte le nœud trivial.

Sur la base d'expériences de laboratoire pour la compréhension de phénomènes géophysiques, je propose un modèle couplant les équations d'écoulement d'un fluide de Bingham avec une loi de transport diffusif /via/ sa rhéologie. Je démontrerai l'existence d'une solution faible (au moins) pour ce modèle, pour ensuite expliquer un nouveau schéma de résolution numérique pour les fluides à seuil et donner quelques résultats récents de simulation d'écoulements-types.