I will report on some recent work with Swoboda, Weiss and Witt which aims to determine the detailed asymptotic structure of the hyperkähler metric on the moduli space of solutions of the Hitchin equation over a Riemann surface. This partially vindicates a conjectural (stringy) picture by Gaiotto-Moore-Neitzke.

Mon objectif sera d'énoncer un résultat de compacité pour l'espace de modules des équations de Seiberg-Witten des 4-variétés a bouts périodiques (vérifiant certaines conditions). Dans ce but, je prouverai aussi la Fredholmité de certains opérateurs elliptiques qui sont apparu dans le cadre de mes recherches.

One of the key tenets of standard quantum mechanics is Hermiticity, which, among other things, guarantees the reality of energy eigenvalues. However, there exists a whole class of Hamiltonians which are not Hermitian but nonetheless possess a completely real spectrum. These Hamiltonians, of which the paradigm is $H=p^2+ix^3$, are PT symmetric, whereby $x$ goes to $-x$ and $i$ to $-i$. I will review the status of such Hamiltonians, which have been the subject of intensive study over the last few years. An unexpected development was the realization that ideas developed in the context of quantum mechanics could be applied to classical optics. There is a standard approximation in optics, the paraxial approximation, where the equation for propagation has the form of an analogue Schroedinger equation, with the longitudinal distance $z$ playing the role of time and the refractive index taking the role of the potential. PT symmetry implies a medium with both gain and loss balanced in a particular way. The advantage is that real eigenvalues correspond to propagation without exponential growth or decay. Artificial PT-symmetric media have many unusual and potentially useful properties.

L’homologie des foncteurs (i.e. l’algèbre homologique dans des catégories de foncteurs) sur une catégorie convenable permet de calculer l’homologie stable des groupes linéaires, des groupes orthogonaux ou des groupes symplectiques. Par contre, l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus est peu connue. Selon les cas, on dispose de résultats d’annulation, de plusieurs calculs en bas degré obtenus par Satoh et de classes explicites construites par Kawazumi. L’homologie des foncteurs des groupes libres dans les groupes abéliens devrait permettre de mieux comprendre l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Dans cet exposé, après avoir expliqué la motivation précédente à l’étude de cette homologie des foncteurs, je donnerai quelques résultats récents la concernant. D’une part, j’expliquerai que les groupes d’extensions entre foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs et dans la sous-catégorie des foncteurs polynomiaux (résultat obtenu en collaboration avec Djament et Pirashvili) et d’autre part je donnerai le calcul explicite des groupes d’extensions entre les puissances tensorielles composées avec l’abélianisation.

I present in this paper an unusual method to implement cartesian computations to solve a CFD spherical problem. The problem consists in performing the numerical simulations of a half bubble of soap located on a heated ring. The gradient of temperature between the base and the top of the bubble generates plumes at the base that move up their surfaces. These plumes give rise to eddies that survive for several minutes eventually creating a two-dimensional turbulent thermal convective flow. Our method consists in defining an appropriate stereographic projection in order to use classical numerical scheme defined for two-dimensional Navier-Stokes equations. The results are then analyzed and compared to real soap bubble experiments data and cyclones data.

Le but sera de donner une introduction en douceur des bases de mécanique Hamiltonienne. Après quelques rappels de géométrie symplectique élémentaire, nous verrons comment définir un système Hamiltonien. On énoncera alors le théorème d'Arnold Liouville qui justifie presque à lui seul l'intérêt de rechercher des systèmes intégrables. Ensuite nous verrons comment ramener l'étude du flot géodésique sur une variété à un problème de système Hamiltonien. On donnera enfin, quelques exemples de systèmes géodésiques intégrables puis verrons quels types d'obstructions il peut y avoir à ce qu'un système soit intégrable.