(Travail en collaboration avec Paul Balmer et Beren Sanders.) Dans les années 90's, Amnon Neeman a su redémontrer de façon élégante la dualité de Grothendieck en géométrie algébrique grâce à des techniques empruntées à la topologie, telles les colimites homotopiques et la représentabilité de Brown ; le cadre permettant ce commerce d'idées est celui des catégories triangulées. En 2003, Fausk, Hu et May ont remarqué la forte analogie formelle entre la dualité de Grothendieck et l'isomorphisme de Wirthmüller en homotopie stable équivariante; il s'agit d'étudier l'existence de foncteurs adjoints à droite et à gauche d'un foncteur tensoriel, et les relations entre eux.

Dans le contexte des catégories triangulées tensorielles, nous poursuivons ce filon d'idée en étudiant tous les foncteurs adjoints possibles, et adjoints des adjoints, etc., à un foncteur tenseur-exact, ainsi que les possibles formules les reliants entre eux. Nous découvrons que l'isomorphisme de Wirthmüller n'est qu'un cas spécial de la dualité de Grothendieck. Cette étude nous permet aussi de développer une théorie généralisée de la dualité qui, en plus de la dualité de Grothendieck, capture d'autres phénomènes tels la dualité de Matlis-Pontryagin en algèbre locale et la dualité de Brown-Comenetz en topologie.

On étudie la propagation du front d'onde de Gabor pour des équations de Schrödinger dont l'hamiltonien est donné par la quantification de Weyl d'une forme quadratique dont la partie imaginaire est négative. On établit une inclusion entre le front d'onde de Gabor de la solution et celle de la donnée initiale qui montre que les singularités de Gabor se propagent uniquement dans l'espace singulier associé à l'opérateur quadratique, et que si l'intersection de cet espace singulier avec le front d'onde de la donnée initiale est vide alors la solution appartient à l'espace de Schwartz pour tout temps strictement positif.

Dans cet exposé, on donnera la démonstration du résultat principal de l'article de Kawazumi (dont on suivra les sections 3 et 4), à savoir l'indépendance algébrique, dans le domaine stable, des classes de Morita-Mumford tordues en cohomologie rationnelle des groupes de tresses.

Notes

Il y a maintenant une trentaine d'années, Jones changeait la face de la topologie de la basse dimension en introduisant un nouvel invariant des noeuds, basé sur des considérations purement algébriques. La structure importante dans son contexte était une algèbre de Hecke, objet originaire de la théorie des représentations des groupes algébriques réductifs et de la théorie des groupes de réflexions. Dans un travail récent avec E. Wagner (Dijon) nous exhibons une extension centrale de cet objet et montrons le résultat surprenant que les arguments de Jones s'étendent à cette nouvelle structure et permettent de définir un invariant numérique des noeuds que l'on ne sait pour l'instant pas relier aux invariants classiques.

Attention : veuillez prendre note de la salle inhabituelle de l'exposé (Éole).

Le span de la variable q dans la représentation de Lawrence-Krammer-Bigelow est égal à deux fois la longueur duale de Garside d'une tresse, comme conjecturé par Krammer. Dans cet exposé j'expliquerai d'abord ce que cet énoncé veut dire. Ensuite, je ne donnerai pas toute la démonstration, mais j'expliquerai juste un lemme clé : la longueur duale d'une tresse peut être lue d'une façon naïve et surprenante dans le diagramme de courbes de la tresse. Il s'agit d'un travail avec Tetsuya Ito.