Les surfaces piégées ont été introduites par R. Penrose en 1965 pour prouver l'existence de singularités des solutions des équations de la relativité générale d'Einstein.

Le concept voisin de surfaces marginalement piégées décrit l'horizon apparent d'un trou noir. Mathématiquement, ces surfaces sont définies par une propriété naturelle de leur courbure : leur vecteur de courbure moyenne est de "type-lumière", c'est-à-dire que sa norme est nulle. Après avoir introduit les concepts de vecteur de courbure moyenne, et motivé la définition de surface marginalement piégée, on décrira des résultats récents qui donnent une description locale des surfaces marginalement piégées dans plusieurs espaces ambiants (espaces de Sitter et anti de Sitter, espaces produits, espaces de Robertson-Walker). Il s'agit de travaux en collaboration avec Y. Godoy (Université de Córdoba, Argentine) et N. Cipriani (KU Leuven, Belgique).

Depuis 40 ans, le problème du comportement asymptotique des petites solutions des EDP non linéaires est traitée de manière extensive par beaucoup d'auteurs. Presque toute la littérature sur le sujet a pour but de montrer que les solutions des EDP non linéaires, pour des petites données initiales, se comportent asymptotiquement comme les solutions des problèmes linéaires associés. Mettre en évidence des dynamiques réellement non linéaires est une tâche souvent très difficile.

Aujourd'hui, on va adopter la méthode simple développée par J. Kato et F. Pusateri en 2010 au cas d'un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées. En utilisant des techniques d'analyse de Fourier, on démontrera (tout du moins j'essaierai de démontrer) des résultats d'existence globale et de scattering.

La correspondance de Dold-Kan permet d'associer à tout complexe de chaînes un type d'homotopie. Les types d'homotopie ainsi obtenus sont exactement les produits d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane. Ce fait reflète la différence fondamentale entre l'homologie et l'homotopie. Un complexe dirigé augmenté est un complexe de chaînes augmenté muni de « sous-monoïdes d'orientation ». Cette notion a été étudiée par Richard Steiner dans le but de construire des nouvelles catégories supérieures. L'exposé tournera autour du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Georges Maltsiniotis : les complexes dirigés augmentés modélisent tous les types d'homotopie.

Loose Legendrian n-submanifolds, n>1, were introduced by Murphy and proved to be flexible in the h-principle sense: any two loose Legendrian submanifolds that are formally Legendrian isotopic are in fact actually Legendrian isotopic. Legendrian contact homology is a Floer theoretic invariant that associates a differential graded algebra (DGA) to a Legendrian submanifold. The DGA of a loose Legendrian submanifold is trivial. We show that the converse is not true by constructing non-loose Legendrian n-spheres in standard contact (2n+1)-space, n > 1, with trivial DGA.

Le théorème du produit tensoriel de Steinberg est une pierre angulaire de la théorie des représentations de GL_n(k), pour k un corps de caractéristique positive.

Dans cet exposé, nous expliquerons l'utilisation des catégories de foncteurs pour étudier les représentations de GL_n(k). Nous donnerons une démonstration du théorème de Steinberg reposant sur l'utilisation des catégories de foncteurs, et nous décrirons quelques phénomènes nouveaux mis à jour par cette approche.

Note : L'exposé se placera à un niveau élémentaire et aucune connaissance spécifique de théorie des représentations n'est requise pour le comprendre.