Étudions la structure asymptotique des bouts des $k$-surfaces de type fini dans $\Bbb{H}^3$. Nous nous en servons pour déduire des propriétés géométriques, non seulement de ces $k$-surfaces, mais aussi de leur espace de modules. Ces résultats sont apparus dans https://arxiv.org/abs/1908.04834.

On a Riemannian manifold $(M, g)$, the $\sigmak$ curvature is the $k$-th elementary symmetric function of the eigenvalues of the Schouten tensor $Ag$. It is known that the prescribing $\sigmak$ curvature equation on a closed manifold without boundary is variational if k=1, 2 or $g$ is locally conformally flat; indeed, this problem can be studied by means of the energy $\int \sigmak(Ag) dvg$. We construct a natural boundary functional which, when added to this energy, yields as its critical points solutions of prescribing $\sigma_k$ curvature equations with general non-vanishing boundary data. Moreover, we prove that the new energy satisfies the Dirichlet principle. If time permits, I will also discuss applications of our methods. This is joint work with Jeffrey Case.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson porte sur l'équivalence entre existence de métriques de Kähler à courbure scalaire constante sur une variété polarisée, et une condition algébro-géométrique de K-stabilité. Elle a été résolue dans le cas des variétés anticanoniquement polarisées par Chen-Donaldson-Sun, et dans le cas des surfaces toriques par Donaldson. Dans les deux cas, une condition plus faible que la K-stabilité attendue suffit, et dans le cas torique, Donaldson traduit la K-stabilité en un problème de géométrie convexe de polytopes. Dans cet exposé, je présenterai des progrès récents sur la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour les variétés sphériques, et en cas particulier, une résolution de cette conjecture dans le cas des variétés polarisées de cohomogénéité un (variétés équipées de l'action d'un groupe de Lie compact avec au moins une orbite hypersurface réelle).

La diagonale ensembliste d'un polytope a le défaut rédhibitoire de ne pas être cellulaire: son image n'est pas une union de faces. On est donc amené à chercher une approximation cellulaire de la diagonale. Une telle approximation, dans le cas des simplexes et des cubes, est d'une importance fondamentale en topologie algébrique, car elle permet de définir le produit cup en cohomologie. Je présenterai dans cet exposé une méthode générale, issue de la théorie des polytopes de fibres développée par Billera et Sturmfels, qui permet de résoudre ce problème pour toute famille de polytopes. J'expliquerai ensuite comment l'on peut se servir de cette méthode pour définir de nouvelles structures supérieures en topologie algébrique, notamment un produit tensoriel d'opérades à homotopie près ou encore un produit tensoriel fonctoriel de catégories A-infini.

Le célèbre théorème nodal de Richard Courant (1923) établit que pour la réalisation de Dirichlet du Laplacien le nombre $\nu(\phi)$ de composantes connexes de la partition nodale d'une fonction propre $\phi$ est toujours inférieur ou égal au numéro $k(\phi)$de la valeur propre correspondante. On se propose de présenter de nombreux résultats récents qui relient le calcul du défaut nodal $\nu(\phi)-k(\phi)$ à d'autres invariants spectraux. On évoquera aussi des extensions à des partitions non nécessairement nodales dans la lignée de travaux de Helffer--Hoffmann-Ostenhof--Terracini.

In this talk, I will present new results concerning the study of the resolvent of the damped-wave operator associated with the sub-elliptic Laplacian known as Baouendi-Grushin operator on the two-dimensional flat torus. From different hypothesis on the geometry of the damping region and the Hölder regularity of the damping term, I will show sharp resolvent estimates of the associated non-selfadjoint operator on the real axis. As an application, sharp energy-decay-rates of the damped-wave equation are obtained. The proofs are based on the study of two-microlocal semiclassical measures, normal form reductions and constructions of quasimodes in different parts of the phase-space.

This work has been done in collaboration with Chenmin Sun. Reference: arXiv:2201.08189.

En suivant les conjectures de Campana sur les variétés « spéciales », nous discuterons les propriétés topologiques des variétés avec beaucoup de points rationnels sur les corps de fonctions. Travail en commun avec A. Javanpeykar.

L'homologie de contact Legendrienne est un invariant qui permet de déterminer si deux Legendriennes sont isotopes ou non. Cependant, son domaine d'application est bien plus vaste. Elle a par exemple été utilisée par Bourgeois, Ekholm et Eliashberg pour calculer des invariants symplectiques des domaines de Weinstein. Dans cet exposé, je relierai l'algèbre A-infty de Floer d'une Lagrangienne exacte à l'algèbre différentielle de Chekanov-Eliashberg (dont l'homologie est l'homologie de contact Legendrienne) de son relevé Legendrien dans la contactization circulaire. Je présenterai l'idée de la preuve, qui consiste à exprimer le dual de Koszul de l'algèbre de Chekanov-Eliashberg comme colimite homotopique d'un diagramme de catégories A-infty.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un problème de scattering par des obstacles dans le plan et plus particulièrement, à l'étude des résonances du Laplacien en dehors de ces obstacles (ce sont des valeurs propres généralisées). On présentera un résultat nouveau qui établit l'existence d'un trou spectral. Après quelques rebonds, on se retrouvera très vite au pays des fractales, ce qui nous amènera à faire une excursion dans le monde des surfaces hyperboliques. On y évoquera un outil récemment développé dans ce contexte et central dans la preuve du trou spectral : un principe d'incertitude fractal. Enfin, si le temps le permet, nous finirons chez le boulanger (et sa transformation) pour tâcher d'expliquer sur un modèle jouet les tenants de la preuve.

Depuis des travaux récents, les principes d’incertitude ont gagné en intérêt dans la recherche de conditions géométriques pour le contrôle d’équations d’évolution linéaires. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’obtention de principes d’incertitude valables dans des espaces de Gelfand-Shilov généraux. Nous discuterons notamment du cas des espaces de Gelfand-Shilov standards $S\nu^\mu$ où les deux paramètres $\mu,\nu>0$ satisfont $\mu+\nu \geq 1$ et mesurent respectivement la décroissance en espace et en Fourier des fonctions de $S\nu^\mu$. Ces principes d’incertitude nous permettrons d’obtenir des conditions géométriques suffisantes pour la contrôlabilité d’équations d’évolution régularisants dans des espaces de Gelfand-Shilov. Un des objectifs sera de comprendre comment la géométrie de l’ensemble de contrôle est reliée aux deux paramètres $\mu$ et $\nu$. En particulier, ces résultats s’appliqueront aux équations d’évolution associées à des opérateurs de Shubin anisotropes fractionnaires.