On s'intéresse dans cet exposé à des modèles décrivant l'évolution de particules (telles que des particules solides de poussière ou des goutelettes) dans un gaz raréfié. De nombreux modèles de spray pour les mélanges gaz-particules existent, mais la plupart du temps le gaz (appelé aussi la "phase porteuse" dans les modèles de spray) est décrit par des équations portant sur les grandeurs macroscopiques du fluide. On adopte ici une approche à l'échelle mésoscopique pour décrire le gaz. Je présenterai deux types de modèles destinés à décrire une situation où les particules (correspondant à la phase "dispersée" du spray) sont macroscopiques comparées aux molécules.

Dans la première modélisation que nous considérons, la phase de particules est décrite par une fonction de densité, dont les variables sont le temps, la position, la vitesse, et éventuellement de la température de surface des particules. L'évolution des densités en gaz et en particules est décrite par un couplage de deux équations de type Boltzmann, dont les opérateurs intégraux décrivent l'interaction entre les molécules et les particules. Différents mécanismes collisionnels sont considérés, conduisant à des modèles plus simples à étudier d'un point de vue mathématique, ou plus riches d'un point de vue physique. Une aymptotique de masse faible permet ensuite de dériver un couplage de type Vlasov-Boltzmann, moins coûteux à simuler par méthode particulaire.

Dans une seconde modélisation, le système gaz-particules est cette fois vu comme un gaz évoluant en domaine mouvant. Les particules sont alors traitées individuellement au lieu d'être considérées au niveau mésoscopique comme dans le modèle précédent. Nous montrons l'existence de solutions pour un problème aux limites avec conditions de réflexion diffuse aux bords. Des simulations numériques 2d-2v illustrent l'effet du mouvement des particules sur la densité et la température du gaz.

Résumé : Ceci est un travail en commun avec S. Marouani. D'une part, nous généralisons l'hyperbolicité kählérienne de Gromov en proposant la notion de variété $n$-dimensionnelle "équilibrée hyperbolique" en demandant l'existence d'une métrique hermitienne dont la puissance $(n-1)-$ème devient d-exacte avec un potentiel borné sur le revêtement universel de la variété. D'autre part, nous généralisons l'hyperbolicité au sens de Brody en proposant la notion de variété "divisoriellement hyperbolique" en interdisant l'existence d'applications holomorphes non dégénérées et satisfaisant une hypothèse de croissance de $\mathbb{C}^{n-1}$ dans la variété donnée. Un de nos résultats principaux stipule que la première notion implique la deuxième. Nous donnons ensuite des exemples de variétés hyperboliques et non hyperboliques dans ces deux sens, étudions plusieurs de leurs propriétés et proposons également les notions de classes de cohomologie "divisoriellement nef" et "divisoriellement kählériennes" pour faire le lien entre l'hyperbolicité et la théorie de la positivité de différents objets géométriques.