Dans cet exposé, nous étudions quelques propriétés d'un modèle décrivant la dynamique d'un écosystème forestier, déterminé par un système de réaction-diffusion partiellement dissipatif. Nous présentons en particulier un résultat récent de non-existence de l'attracteur global, dans un cas simple, qui complète des résultats bien connus (Marion, 1989), valables pour des systèmes de réaction-diffusion partiellement dissipatifs, mais sans non-linéarité dans les équations non-diffusives. Puis, nous présentons un modèle augmenté de réaction-diffusion-advection décrivant l'interaction entre l'écosystème forestier et l'activité atmosphérique, et nous recherchons des conditions de paramètres garantissant l'instabilité de l'équilibre d'extinction.

Je présenterai de nouvelles estimations d’observabilité pour des équations elliptiques non homogènes posées sur un domaine $\Omega$ en 2 D, avec observation sur un sous domaine $\omega$. Pour un potentiel $V$ borné à valeurs réelles, on démontre que le coût de l’observation de l’opérateur $-\Delta + V$ est de l’ordre de $\exp(\|V\|_\infty ^{1/2 + \epsilon})$. La méthode de preuve est inspirée d’un travail récent de Logunov, Malinnikova, Nadirashvili et Nazarov portant sur la conjecture de Landis. Je présenterai les trois grandes idées de la preuve : une construction de domaine perforé basée sur l’ensemble nodal de la solution pour se ramener à un domaine dont la constante de Poincaré est petite, une transformation quasi-conforme pour se ramener à une équation harmonique, et des estimations de Carleman conjuguées à des inégalités de Harnack. Enfin, je présenterai l’application de ces nouveaux résultats au contrôle d’équations elliptiques semi-linéaires, dans l’esprit des travaux de Fernandez-Cara et Zuazua concernant la contrôlabilité à zéro d’équations de la chaleur semi-linéaires. L’exposé sera basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza.

En géométrie énumérative, les invariants de Gromov–Witten et de Welschinger sont connus pour être des outils très puissants pour étudier le comptage de courbes (complexes et réelles) passant par une contrainte générique dans les variétés projectives. Alors que ces invariants dans les variétés de dimension deux ont été systématiquement étudiés ces dernières années, de nombreuses études dans le cas de dimension trois restent à explorer, en mettant l'accent sur le cas réel. Dans cet exposé, je présente une adaptation d'une stratégie proposée par Brugallé–Georgieva en 2016 pour calculer ces deux invariants de l'espace projectif aux variétés del Pezzo de dimension 3.

We describe a parallel and quasi-explicit Discontinuous Galerkin (DG) kinetic scheme for solving systems of balance laws. The solver is CFL-less (i.e., the CFL number can be arbitrary) and has the complexity of an explicit scheme. It can be applied to any hyperbolic system of balance laws. In this work, we assess the performance of the scheme in the particular cases of the three-dimensional wave equation and of Maxwell’s equations. We measure the benefit of the unconditional stability by performing experiments with very large CFL numbers. In addition, the parallel possibilities of the method are investigated.

Soit C l’espace de modules des hypersurfaces cubiques lisses de dimension 4. Dans cet exposé on introduira la cubique universelle au dessus de C, et on étudiera la géométrie birationnelle de sa restriction à certains lieux spéciaux contenus dans C. Notamment, en utilisant des résultats récents de Farkas-Verra et plus classiques de Mukai, nous prouverons que la cubique universelle au dessus des diviseurs de Hassett (que je vais introduire!) C(14),C(26) et C(42) est unirationnelle. Le résultat dépend fortement de l’existence des surfaces K3 associées à ces cubiques, et de la géométrie birationnelle des espaces de modules de ces surfaces. En général, nous observerons aussi que, pour d>>0, il y a infiniment de valeurs de d pour lesquelles la cubique au dessus de C(d) ne peut pas être unirationnelle.