Le flot de Ricci introduit par Hamilton dans les années 80 est une équation parabolique non linéaire sur l'espace des métriques riemanniennes d'une variété lisse fixée. Son invariance sous l'action des difféomorphismes la rend dégénérée, ce qui produit une ambiguïté vis-à-vis des questions d'existence et d'unicité. Dans cet exposé, nous établirons sous certaines hypothèses de courbure un résultat de proximité locale entre deux flots de Ricci ayant pour condition initiale un espace métrique. La vitesse de convergence en temps établie est optimale.

Soit G un groupe fini agissant sans point fixe sur une surface topologique S. Comment peut agir G sur le premier groupe d'homologie rationnelle de S? Je vais expliquer que c'est toujours de la même façon, raffinant un théorème de Chevalley et Weil (1934). Travail en commun avec Jean Barge.

We study the Bernstein-Landau paradox in the collisionless motion of an electrostatic plasma in the presence of a constant external magnetic field. In the presence of the magnetic field, the electric field and the charge density fluctuation have an oscillatory behavior in time, this is the physical phenomenon known as the Bernstein-Landau paradox. This is radically different from Landau damping, in the case without magnetic field, where the electric field tends to zero for large times. We consider this problem from a new point of view. Instead of analyzing the linear magnetized Vlasov-Poisson system, as it is usually done, we study the linear magnetized Vlasov-Ampère system. We formulate the magnetized Vlasov-Ampère system as a Schrödinger equation with a self-adjoint magnetized Vlasov-Ampère operator in the Hilbert space of states with finite energy. The magnetized Vlasov-Ampère operator has a complete set of orthonormal eigenfunctions, that include the Bernstein modes. The expansion of the solution of the magnetized Vlasov-Ampère system in the eigenfunctions shows the oscillatory behavior in time. 

The evolution of a gas can be described by different models depending on the observation scale. A natural question, raised by Hilbert in his sixth problem, is whether these models provide consistent predictions. In particular, for rarefied gases, it is expected that continuum laws of kinetic theory can be obtained directly from molecular dynamics governed by the fundamental principles of mechanics.

In the case of hard sphere gases, Lanford showed that the Boltzmann equation emerges as the law of large numbers in the low density limit, at least for very short times. The goal of this survey is to present recent progress in the understanding of this limiting process, providing a complete statistical description.

Dans cet exposé, nous allons nous intéresser à l'étude de la stabilité du faisceau tangent logarithmique $T{X}(- \log D)$ associé à une log-paire équivariante $(X, D)$ où $X$ est une variété torique lisse et $D$ un diviseur de Weil réduit à croisements normaux. Nous donnerons une condition nécessaire sur le diviseur $D$ qui assure l'existence des polarisations $L$ sur $X$ tel que le faisceau $T{X}(- \log D)$ soit semi-stable par rapport à $L$.

Un instanton gravitationnel est une vari\'et\'e riemannienne orientée complète $(M, g)$ de dimension 4, dont le tenseur de Ricci est nul et dont la courbure s'annule à l'infini. Les instantons gravitationnels considérés dans cet exposé ont en outre les propriétés suivantes: (1) le comportement à l'infini est de type ALF; (2) le tenseur de Weyl $W^+$ est dégénéré et non-nul, i. e. admet une valeur propre double non-nulle, ce qui implique que $(M, g)$ est conformément kaehlérienne; (3) $(M, g)$ est torique. Exemples connus de tels instantons gravitationnels: les espaces de Kerr riemanniens, incluant les espaces de Schwarzschild riemanniens; les espaces de Kerr-Taub-bolt, introduits par G. W. Gibbons et M. J. Perry en 1980, incluant en outre la métrique Taub-NUT autoduale et la métrique de Taub-bolt; les instantons découverts en 2011 par Yu Chen et Edward Teo. Dans ce travail, nous montrons que les instantons gravitationnels de cette classe sont entièrement déterminés, à changement d'échelle près, par une fonction convexe affine par morceaux, définie sur la droite réelle. Via cette description, nous montrons que les seuls instantons lisses de cette classe sont les exemples cités ci-dessus, mais qu'il existe en revanche une infinité d'exemples non-difféomorphes admettant des métriques à singularités coniques. Travail commun avec Olivier Biquard.