Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe. Les transformations birationnelles apparaissent dans de nombreux contexts. Par exemple lorsqu'on int`egre une \'equation diff\'erentielle du type $y'=f(x,y)$ avec f homog`ene on fait un changement de variables $(x,t)\mapsto (x,t/x)$ ; cette transformation aussi appel\'ee \'eclatement est le prototype de transformations birationnelles. Un autre exemple est le suivant : Noether a d\'emontr\'e que si C est une courbe alg`ebrique plane il existe une transformation birationnelle qui transforme C en une courbe dont les points singuliers sont ordinaires (au voisinage de chacun d'eux la courbe est réunion de "branches" lisses se coupant deux `a deux transversalement).

Apr`es avoir introduit le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe j'en donnerai quelques propri\'et\'es en faisant un parall`ele avec les groupes lin\'eaires. Puis j'\'evoquerai des propri\'et\'es g\'eom\'etriques et dynamiques comme par exemple la classification de ses \'el\'ements à conjugaison birationnelle pr`es.

I'll define a new symplectic object called a pumpkin domain and I'll construct its Fukaya category. This simultaneously generalizes the wrapped Fukaya category of a Liouville domain and the Fukaya-Seidel category of a Lefschetz fibration. Pumpkin domains come with a natural geometric gluing operation ; at the level of Fukaya categories, it corresponds to a certain pushout. After describing this, I'll give some simple applications and a conjectural connection to Legendrian contact homology.

(En collaboration avec Aude Bernard-Champmartin et Nicolas Seguin)

Nous nous intéressons à l'obtention de la stabilité de méthode volumes finis dédiées aux équations de transport en dimension deux d'espace sur des maillages courbes non structurés. L'approximation d'ordre élevée (2 ou 3) de la géométrie étant obtenue par des mailles dont les arêtes peuvent représenter de manière exacte des portions de droite, ellipse (cercle), parabole, et d'hyperbole. Les reconstructions des quantités conservatives sont issues de méthode d'ordre 2 ou 3 (méthode des moindres carrés). L'obtention de la stabilité (définie par la nature du champ (scalaire ou vectoriel) et son type (volumique ou massique)) est réalisée grâce à une extension de la méthode APITALI (A Posteriori ITerAtive LImitation), et nous comparons numériquement avec la méthode MOOD (Multi-dimensionnal Optimal Order Detection) vue comme un cas particulier. Les flux des schéma volumes finis pouvant être définis soit aux arêtes (quasi 1D) soit aux nœuds (multi-D).

Dans cet exposé on va considérer l'équation des ondes cubique sur le cercle. Proche de l'origine on montrera l'existence de solutions quasi-périodiques de faible amplitude proche de la solution de l'équation linéaire et l'existence de tore stable. Pour la preuve on fera appel à un résultat KAM en dimension infinie et à une forme normale de Birkhoff.

Nous considérons l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant à l'extérieur d'un obstacle compact. Le but est d'analyser des phénomènes de concentration d'énergie près de certaines valeurs (les niveaux de Landau). Cela se manifeste par une accumulation de valeurs propres ou de résonances que nous localisons suivant la condition au bord (Dirichlet, Neumann ou Robin). En particulier nous montrons l'absence de valeurs propres dans certaines zones de l'axe réel. Travail en collaboration avec D. Sambou.

Most living or social systems consist of a large number of agents interacting through elementary rules involving only neighbouring agents. In spite of their simplicity, these interactions drive the system towards a self-organized coherent collective behavior. The emergence of collective dynamics poses many mathematical challenges which will be outlined in this talk. We will use the example of the Vicsek model (in which self-propelled particles interact through local alignment) to show how the loss of conservations and the analysis of phase transitions can be apprehended. Examples of applications, notably to sperm-cell collective dynamics will be presented.

Contact homology is a powerful invariant of contact manifolds introduced by Eliashberg--Givental--Hofer. The definition involves certain counts of pseudo-holomorphic curves, however these are usually only "virtual" counts since the moduli spaces of such curves are often not cut out transversally. I will discuss one way to construct these counts rigorously.

L'existence d'une structure supersymétrique a des conséquences remarquables dans l'analyse spectrales de nombreux opérateurs. En pratique, il arrive que l'existence d'une telle structure ne soit pas évidente. Dans cet exposé, on présentera un critère simple assurant la supersymétrie d'opérateurs différentiels semiclassiques d'ordre deux.