Considérons un ellipsoïde et faisons tendre l'un de ses trois axes vers zéro : l'ellipsoïde s'aplatit et se rapproche d'une ellipse dans le plan formé par les deux autres axes. Comme l'avait remarqué Birkhoff, le flot géodésique sur l'ellipsoïde converge vers le flot de billard sur l'ellipse. En fait, ce phénomène est bien plus général : on énoncera un théorème analogue qui s'applique à presque n'importe quelle surface de R^3 que l'on aplatit selon un axe. De plus, si le billard obtenu à la limite est dispersif, alors le flot géodésique sur la surface est Anosov (les deux systèmes présentent alors le même type de dynamique chaotique). On utilisera enfin ce dernier résultat pour donner un nouvel exemple concret de système physique Anosov, un système articulé à cinq tiges.

L'inégalité de Ruelle est une relation entre l'entropie mesurée d'un difféomorphisme d'une variété compacte et les valeurs propres asymptotiques positives de sa différentielle (appelés Exposants de Lyapounov). Plus précisément, l'entropie d'une mesure ergodique est plus petit que la somme des exposants de Lyapunov positifs. Si l'on supprime l'hypothèse de compacité, cette inégalité n'est plus valable de manière générale. Dans cet exposé je montrerai que dans le cas du flot géodésique sur une variété non-compacte à courbure négative pincée, on rencontre l'inégalité de Ruelle par une méthode différente de celle classique.

Attention : séance exceptionnelle un lundi

Let X be a symplectic manifold, and let L be a Lagrangian in X. If a Hamiltonian diffeomorphism preserves L as a subset, what can be said about the induced map on the homology of L? In some cases, one can easily find a non-trivial automorphism on the homology of L. In other cases, the only possible map is the identity. There are works by M. L. Yau, S. Hu - F. Lalonde - R. Leclerq. I will discuss the case of "standard" product tori in a polydisc (the conclusion depends on the size) and the product of equators in a product of two-spheres.

Dans cet exposé, je vais discuter une relation entre l'homologie et cohomologie de Hochschild, et la théorie de dualité de Koszul, qui apparaît dans mon papier. Plus précisément, le résultat principal qu'on va présenter établit une dualité entre le calcul de Tamarkin-Tsygan d'une algèbre dg augmentée qui possède une graduation d'Adams connexe et celui de son algèbre duale de Koszul. Un cas un peu différent a été prouvé par Y. Félix, J.-C. Thomas and L. Menichi, qui n'avaient considéré que la cohomologie de Hochschild. Pour démontrer le résultat principal on a utilisé une description de la cohomologie (resp. de l'homologie) de Hochschild en termes des torsions d'algèbres (resp. des torsions de modules sur ces algèbres tordues). A partir de celle-ci, on a aussi déduit que le cup-produit dans la cohomologie de Hochschild et le cap-produit entre cohomologie et homologie de Hochschild d'une algèbre de Koszul peuvent être calculés directement à partir de la structure de cogèbre du groupe Tor(k,k) (le résultat pour le cup-produit a été démontré par R.-O. Buchweitz, E. Green, N. Snashall et O. Solberg en employant d'autres méthodes).