Après avoir rappelé les notions de structures de contact, de nœuds legendriens et transverses, on s'intéressera aux problèmes de finitude des nœuds.

Dans un premier temps, on regardera les relations entre nœuds legendriens, nœuds transverses et structures de contact. Dans un second temps, on verra comment ces liens impliquent, dans certains cas, la finitude ou l'engendrement.

Cet exposé présente la construction d' un calcul pseudodifférentiel prolongeant la définition du calcul de Weyl à un espace de dimension infinie, un espace de Wiener abstrait. Travaux en collaboration avec Laurent Amour et Jean Nourrigat.

Je presenterai deux notions de solutions faible de l'équation de Hamilton-Jacobi, en insistant sur le cas d'une donnée initiale semi-concave.

On étudie un problème de diffusion locale à énergie fixée pour l'équation de Schrödinger sur Rn avec un potentiel radial q(r). On suppose que le potentiel q(r) peut s'écrire comme q(r)=q1(r) + q2(r) avec q1(r) à support compact, q2(r) à courte portée et s'étendant holomorphiquement dans le domaine complexe Re z ≥ 0$. Soient q, q' deux potentiels dans la classe ci-dessus. On note δl et δl' les phases de diffusion associées. On montre que pour tout a>0, δl - δl' = o(1/ln-3(ae/2l)2l) lorsque l → +∞ si et seulement si q(r)=q'(r) pour presque tout r ≥ a. La preuve est proche du célèbre résultat de Borg-Marchenko et repose fortement sur la localisation des pôles de Regge qui peuvent être vus comme des résonances lorsque l'on complexifie le moment angulaire.

Considérons un ellipsoïde et faisons tendre l'un de ses trois axes vers zéro : l'ellipsoïde s'aplatit et se rapproche d'une ellipse dans le plan formé par les deux autres axes. Comme l'avait remarqué Birkhoff, le flot géodésique sur l'ellipsoïde converge vers le flot de billard sur l'ellipse. En fait, ce phénomène est bien plus général : on énoncera un théorème analogue qui s'applique à presque n'importe quelle surface de R^3 que l'on aplatit selon un axe. De plus, si le billard obtenu à la limite est dispersif, alors le flot géodésique sur la surface est Anosov (les deux systèmes présentent alors le même type de dynamique chaotique). On utilisera enfin ce dernier résultat pour donner un nouvel exemple concret de système physique Anosov, un système articulé à cinq tiges.