Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, on s’intéresse à l’ étude des propriétés de l’opérateur discret de Gauss-Bonnet comme suite du travail de Colette Anné et Nabila Torki-Hamza. Plus précisément, on considère un opérateur de Gauss-Bonnet à image fermée qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff.

De plus, on donne une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l’infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes, qui permet d’avoir un opérateur de Gauss-Bonnet "semi-Fredholm".

Durant cet exposé je détaillerai les liens qu'il y a entre l'asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur aux points de coupure conjugués et le type de singularités de l'application exponentielle aux mêmes points [1,2]. Nous verrons des applications pour les métriques génériques en petites dimensions, à la fois pour ce qui concerne les singularités de l'exponentielle que le noyau de la chaleur [2].

[1] On the heat diffusion for generic Riemannian and sub-Riemannian structures, D. Barilari, U. Boscain, G. Charlot, R. Neel, arxiv.org/abs/1310.0911 [2] Small-time heat kernel asymptotics at the sub-Riemannian cut locus. D. Barilari, U. Boscain, R. Neel, J. Differential Geom. 92 (2012), no. 3, 373–416.

Depuis la fin des années 60 (avec les travaux de Kazdan et Margulis et de Wang), on sait que toute variété ou orbifold localement symétrique de type non-compact contient une boule plongée de rayon r(G) ne dépendant que du groupe des isométries G de son revêtement universel. Ceci implique en particulier l'existence d'une constante minorant le volume d'un quotient d'un espace symétrique fixé. Si on se fixe un tel espace, deux (au moins!) questions se posent alors naturellement: déterminer ce rayon maximal r(G) -ou au moins le borner- et déterminer le volume minimal de ses quotients, ainsi que les réseaux qui le réalisent.

En rang 1, les espaces symétriques de type non compact sont les espaces hyperboliques sur \R, \C, ainsi que sur les quaternions de Hamilton \H (et le plan sur les octaves de Cayley). Dans cet exposé, on abordera quelques propriétés extrémales des quotients de l'espace hyperbolique quaternionique.