I will explain examples of contactomorphisms in every dimension that are smoothly isotopic to the identity but that are not contact isotopic to the identity. In fact, I will prove the stronger statement that they are not even symplectically pseudo-isotopic to the identity (this notion due tu Cieliebak and Eliashberg will be defined during the talk). This is a joint work with Klaus Niederkrüger (Institut de mathématiques de Toulouse and Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet in Budapest).
Si $\varphi$ est une fonction qui stabilise un ensemble (le disque unité D, le segment [0,1],..) on peut définir l'opération linéaire de composition par $\varphi$ : $f\mapsto f\circ\varphi$ sur un espace de fonctions (sur D, [0,1],..).
On va voir comment des critères géométriques sur $\varphi$ peuvent influer sur la continuité, ou la compacité de l'opérateur de composition, en particulier dans les espaces de Hardy et de Müntz.
Travail en collaboration avec Mélisande Albert, Yann Bouret et Patricia Reynaud-Bouret.
Dans la perspective d’un déchiffrage du code neuronal, la détection du phénomène de syn-
chronisation de potentiels d’action ou spikes apparaît aujourd’hui comme une question fonda-
mentale en neurosciences, traitée par de nombreux auteurs (c.f. Pipa et Grün (2003), Grün et
al. (2010), Tuleau-Malot et al. (2014)). Aucun modèle statistique paramétrique pour les trains
de spikes n’étant communément accepté par les neuroscientifiques, nous considérons cette ques-
tion sous l’angle d’un problème de test non paramétrique d’indépendance entre deux processus
ponctuels. Nous proposons des tests basés sur des U -statistiques de processus ponctuels et sur
des approches de bootstrap ou de permutation. Sans hypothèse contraignante sur la distribution
des processus observés, nous obtenons des résultats généraux de consistance par rapport à la
distance de Wasserstein pour les deux approches. Ces résultats nous permettent de montrer que
nos tests sont de taille asymptotique attendue et consistants, les tests par permutation ayant de
plus l’avantage d’être exactement du niveau attendu. Une étude expérimentale, dans laquelle
nous comparons nos tests à ceux utilisés jusqu’à présent en neurosciences, vient illustrer l’étude
théorique. Enfin, pour pouvoir détecter plus précisément la localisation des synchronisations de
potentiels d’action, nous intégrons les tests par permutation développés ici dans une procédure
de tests multiples, que nous appliquons à des données neuronales réelles.
In this talk, I will explain the following theorem : a Legendrian submanifold has a positive loop of legendrian isotopy when it is loose. Using h-principle technique, it means the existence problem here is a flexible phenomenon in contact topology. The main idea is to allow good singularities (wrinkles), then resolve them. First, I will give motivation and background, then I will discuss a test example: the case of sphere. Finally I will show the general case by h-principle.
